Vi skal nå snakke litt om L’Hôpitals regel. Det er en regel som er veldig fin å bruke
i forbindelse med utregning av grenseverdier. L’Hôpitals regel sier følgende; vi antar, rett og slett,
at grenseverdien av f(x) når x nærmer seg a er lik 0, og at vi også har en grenseverdi av en annen funksjon g
som også er 0.
Så antar vi at grenseverdien-- når vi ser på den deriverte av f, delt på den deriverte av g når x går mot a,
den eksisterer. Det er antagelsene. Da eksisterer grenseverdien av f(x)/g(x), for det er
egentlig den vi ønsker å regne ut.
Vi vet også hva den er lik, nemlig grenseverdien av f(x)/g(x) når x går mot a, er da lik
denne grenseverdien, nemlig f'(x)/g'(x) når x går mot a.
L’Hôpitals regel handler altså om å regne ut denne grenseverdien.
Hvis vi setter inn a og får et 0/0-uttrykk, som vi får fordi disse to grensene er 0,
så kan vi prøve å derivere oppe og nede, og se om vi får en grenseverdi som eksisterer.
Vi kan også få pluss/minus uendelig, da eksisterer den også.
Hvis vi får et svar eller pluss/minus uendelig, så vet vi at grenseverdien av dette uttrykket
blir lik grenseverdien av f'(x)/g'(x) når x går mot a. Det er L’Hôpitals regel.
Da er det veldig viktig å passe på, for eksempel at vi har et 0/0-uttrykk. Hvis vi ser på
for eksempel grenseverdien av 2x+1 / x+1 når x går mot 0,
ser vi jo at den blir 1/1.
Hvis vi da hadde glemt å gjøre det på den måten, men bare begynt å derivere, så ser vi jo at
f'(x)=2 og g'(x)=1. Så når vi regner ut grenseverdien av f'(x)/g'(x)
når x går mot 0, så ville vi fått 2 og ikke 1. Vi må huske å sjekke at vi har
et 0/0-uttrykk før vi bruker L’Hôpital.
Nå har det seg også sånn at L’Hôpital fungerer også for uttrykk som er uendelig delt på uendelig.
Hvis vi setter uendelig her og uendelig der, så vil vi få akkurat samme konklusjon.
Vi vil også få samme konklusjon hvis vi setter pluss/minus uendelig inn for a.
L’Hôpital er en meget anvendelig regel, og vi skal nå se litt nærmere på noen eksempler.
Da skal vi se på bruk av L’Hôpitals regel. Vi ønsker nå å finne grenseverdien av dette store uttrykket
når x går mot 0. Hvis vi nå setter inn 0 for å se om vi får noe ut av det,
så får vi 0/2=0. Så får vi -0, og her får vi -1. Her får vi +1.
I telleren får vi 0 når vi setter inn x=0. I nevneren så får vi 0-0+0.
Dette er et 0/0-uttrykk. Det kan være greit å skrive opp, da har vi sjekket det. Da prøver vi
med L’Hôpital. Vi deriverer oppe og nede og ser om vi får en grenseverdi
som eksisterer.
Da kan vi derivere ledd for ledd. Vi skal jo derivere telleren for seg og nevneren for seg
når vi bruker L’Hôpital. Da starter vi med telleren. Får x når vi deriverer det første leddet, så -2.
Når vi deriverer 1 / 1+x, får vi -1 / 1+x^2 og så står det et minustegn der, da får vi pluss.
Den deriverte av e^x er fortsatt e^x. Så deriverer vi nevneren for seg, ledd for ledd.
Så får vi 3x^2 - 3. Deriverer vi sinus så får vi cosinus, og så har vi en liten kjerne
der den deriverte er 3, så vi får 3*cos 3x.
Så prøver vi å regne ut denne grenseverdien og setter inn 0. Da får vi 0-2, og så får vi +1+1.
Da får vi fortsatt 0 i teller. Så får vi 0-3+3, fordi cos 0 = 1. Vi får fortsatt
0/0-uttrykk, og det vet vi fortsatt ikke hva er. 0/0 er et såkalt ubestemt uttrykk.
Da prøver vi å bruke L’Hôpital en gang til og se om vi får en grenseverdi som eksisterer.
Så da må vi derivere teller og nevner hver for seg en gang til. Vi tar ledd for ledd.
Vi får først 1.
Nå får vi 0 her. Når vi deriverer 1 / 1+x^2, så får vi -2 / 1+x^3.
e^x beholder vi fortsatt. Da er vi ferdig med telleren, og så tar vi nevneren ledd for ledd.
Da får vi 6x.
Så får vi 0, og så får vi -sin og nok et 3-tall som er den deriverte av kjernen.
Vi får -9*sin 3x.
Vi prøver å sette inn x=0 for å finne denne grenseverdien.
Da får vi 1-2+1=0 i teller. Her får vi 0-0=0 i nevneren.
Det er nok et 0/0-uttrykk, så vi bruker L’Hôpital en gang til og ser om vi får en grenseverdi
som eksisterer.
Da deriverer vi oppe og nede enda en gang, hver for seg og leddvis.
Da får vi 0 her. Så får vi
et 3-tall opp hit, så vi får pluss nå, for vi skifter fortegn. Vi får 6 / 1+x^4.
e^x får vi stadig med oss. Så var det nevneren. Da får vi 6, så får vi cos og nok et 3-tall
som den deriverte av kjernen. Vi får -27*cos 3x.
Så prøver vi å sette inn x=0 for å se om vi får noe fornuftig.
Da får vi 6 her, og så får vi e^0 som er 1, vi får 7 oppe i teller.
Så får vi 6-27, fordi cos 0=1. 6-27=-21. Hvis vi forkorter det,
så får vi -1/3. Da betyr det at denne grenseverdien eksisterer, den er -1/3.
Det betyr at denne grenseverdien eksisterer, for da har vi derivert i overgangen her.
Da bruker vi L’Hôpital til å si at denne grenseverdien eksisterer. Tilsvarende har vi derivert
i den overgangen her, ved L’Hôpital så eksisterer denne. Tilsvarende har vi brukt derivasjon her,
og da vil L’Hôpital gi at denne også eksisterer og alle disse er da like. Det betyr at den
opprinnelige grenseverdien vår er -1/3.
L’Hôpitals regel hjelper oss å håndtere et par ubestemte uttrykk som kan dukke opp i forbindelse
med grenseverdier. Uttrykkene 0/0 og uendelig/uendelig, de kan vi håndtere ved hjelp av L’Hôpital.
Vi har andre ubestemte uttrykk som kan dukke opp i grenseverdier, slik som 0*uendelig.
Hva skal vi mene med det? Det vet vi ikke helt, og heller ikke uendelig-uendelig.
Alle disse er ubestemte uttrykk. Her oppe prøver vi å bruke L’Hôpital.
Hvis disse dukker opp, så prøver vi å omforme uttrykket, slik at vi kanskje kan få disse ubestemte uttrykkene
over på uttrykkene 0/0 eller uendelig/uendelig, sånn at vi har en sjanse til
å bruke L’Hôpital.
La oss se på dette eksempelet her. Vi ønsker å finne grenseverdien av uttrykket 2x / x-1
- 1 / ln x, når x går mot 1 ovenifra. Vi ser på en ensidig grense.
Da prøver vi først å sette inn tallet 1 i uttrykket. Det gir oss 2/0, som er uendelig,
og så får vi 1/ln 1 som er 0, som også er uendelig. Her får vi uendelig-uendelig,
og da prøver vi å omforme uttrykket.
Her har vi to brøker.
En god måte å gjøre det på, er å sette uttrykket på fellesnevner.
Fellesnevneren blir x-1*ln x. Vi får 2x*ln x + 1.
Så får vi fellesnevner (x-1)ln x. Nå har vi foreløpig ikke gjort noe annet enn å omforme uttrykket.
Så prøver vi å sette inn 1 en gang til.
Da får vi 2*1*0-1+1=0 i teller. Så får vi 1-1=0*ln 1=0.
Nå får vi 0 i nevner også. Det betyr at vi omformet
uendelig-uendelig til et 0/0-uttrykk. Da kan vi bruke L’Hôpital.
Vi deriverer oppe og nede og ser om vi får en grenseverdi som eksisterer.
L’Hôpital vil gjelde for ensidige grenser også.
Vi deriverer leddvis i teller først. Da har vi et produkt. Deriverer vi et produkt her,
får vi 2ln x + (2x / x). Så får vi -1 når vi deriverer. I nevneren har vi også et produkt.
Den deriverte av x-1=1. Da får vi først ln x, og så får vi x-1 / x.
Da har vi derivert oppe og nede hver for seg, og så prøver vi å sette inn 1 og se hva vi får. Da får vi 2*0=0.
Når vi forkorter x mot x her, så får vi 2-1. Da står det 1 i teller.
I nevneren får vi 0 her, og så får vi 0/1=0.
Da har vi et uttrykk i nevneren som går mot 0 men som holder seg på den positive siden. Da har vi 0 her.
Det betyr at dette uttrykket blir +uendelig.
Det er lov i L’Hôpitals regel. Dette betyr at grenseverdien eksisterer, og er lik +uendelig.
Ved L’Hôpital så betyr det da at grenseverdien vi ønsket å finne er lik grenseverdien vi får
når vi deriverer oppe og nede, det er altså +uendelig.
Når vi regner ut grenseverdier, så vil det ofte dukke opp en del ubestemte uttrykk. Vi har sett
at uttrykk som 0/0 og uendelig/uendelig kan ofte håndteres ved hjelp av L’Hôpitals regel.
Vi har også andre uttrykk, slik som uendelig-uendelig eller 0*uendelig.
De kan vi omforme og prøve å få over på formen 0/0 eller uendelig/uendelig.
Vi har også noen andre uttrykk som involverer eksponenter, for eksempel 0^0, uendelig^0 og 1^uendelig.
Disse er også ubestemte uttrykk. Hvilke situasjoner kan disse dukke opp i?
Jo, da ser vi gjerne på situasjonen hvor vi har grenseverdien av en funksjon opphøyd i en annen funksjon,
når x går mot en verdi og der vi antar at f(x) er positiv.
Hvis vi da for eksempel har at funksjonen f(x) går mot 0 når x går mot a, og g(x) går mot 0
når x går mot a, så vil vi få det ubestemte uttrykket 0^0. Felles for alle
disse ubestemte uttrykkene, er at vi kan gjøre følgende; vi kan skrive (e^ln f(x))^g(x).
Nå gjør vi bruk av eksponential- og logaritmefunksjoner.
Så kan vi bruke regneregler for logaritmer. Da får vi e^g(x)*ln f(x).
Så vet vi at det er en veldig nær sammenheng mellom grenseverdier og kontinuerlige funksjoner.
Eksponentialfunksjonen e^x er en kontinuerlig funksjon.
Vi kan nå skrive dette som e^lim g(x)*ln f(x).
Da ser vi at for eksempel uttrykket 0^0, da går altså både f og g mot 0. Da får vi e^0*ln 0
som går mot -uendelig. Dette her vil da omformes til e^0*-uendelig
ved hjelp av denne metoden. uendelig^0, da går f mot uendelig, så da har vi
ln uendelig=uendelig og g=0, så da får vi uttrykket e^0*uendelig.
1^uendelig, da er f(x)=1. Vi får ln 1=0, ganger g som er uendelig. Da får vi e^uendelig*0.
Da ser vi at ved hjelp av denne metoden, så får vi
omformet disse eksponentuttrykkene til å håndtere 0*uendelig-uttrykk. Da kan vi prøve å omforme
dette uttrykket, for å få det over på 0/0 eller uendelig/uendelig, og så kan vi prøve å bruke
L’Hôpital for å få en konklusjon. Så la oss se på et eksempel på dette her. Da vil vi regne ut
grenseverdien til (arctan x)^x når x går mot 0 ovenifra, fra den positive siden.
Hvis vi setter inn 0 så får vi arctan 0, det er 0^0. Da har vi et ubestemt uttrykk.
Ved å omforme dette uttrykket slik, kan vi se på grenseverdien av x*ln arctan x.
Da gjør vi det. Da ser vi på grenseverdien til x*ln arctan x
og regner ut den først. Når vi finner denne, så tar vi det e opphøyd i denne verdien til slutt
og det vil gi oss denne grenseverdien.
Vi må regne litt. Vi setter inn 0, da får vi 0*ln 0 som er -uendelig,
som vi også så her.
Da prøver vi å omforme det til et 0/0-uttrykk eller uendelig/uendelig-uttrykk, ved å flytte en av
faktorene ned i nevneren og sette 1 over denne faktoren. Da kan vi godt flytte faktoren som går mot 0,
da vil vi få -uendelig/uendelig. Vi får 1/x i nevneren, og dette blir -uendelig/uendelig.
Da kan vi bruke L’Hôpital, så da deriverer vi.
Teller for seg og nevner for seg. Da får vi 1 / arctan x, og så ganger vi med
den deriverte av arctan, det er 1 / 1+x^2. Den deriverte av 1 / x = -1 / x^2.
Så prøver vi å sette inn 0 nå. Da får vi 1/0*1,
da får vi fortsatt uendelig. Her nede får vi -uendelig. Det betyr at vi må
bruke L’Hôpital en gang til.
Da skal vi derivere oppe og nede.
Da kan det være lurt å rydde litt opp i uttrykket først.
La oss gjøre det. Hvis vi flytter x^2 helt opp og så flytter vi arctan x * 1+x^2
ned i nevneren, da får vi brøken -x^2 / (1+x^2)arctan x.
Da har vi faktisk fått et 0/0-uttrykk isteden.
L’Hôpital kan brukes på 0/0-uttrykk, så da deriverer vi teller og nevner hver for seg.
Vi får -2x. Så har vi et produkt i nevneren. Da får vi (1+x^2 / 1+x^2) + 2x*arctan x.
Da ser vi at her får vi 1. Når vi setter inn 0, får vi 0/1+0=0.
Det betyr at denne grenseverdien eksisterer og er lik 0. Da sier L’Hôpital, hvis vi går to hakk tilbake,
så vil den opprinnelige grenseverdien også eksistere og være lik den verdien vi fikk, altså 0.
Det betyr at denne grenseverdien er lik 0, og det betyr at den opprinnelige grenseverdien vår vil være e^0=1.
Da ser vi hvordan vi kan håndtere denne type ubestemte uttrykk, og underveis får vi
ofte bruk for L’Hôpitals regel.