Vi skal nå se på noen anvendelser av integralet, og vi skal regne ut areal, lengde og volum
av noen planlige og romlige figurer. Det er det ofte integralet kan brukes til. Da er det like mye
tankegangen som beregningene som er viktige. Vi starter med et eksempel. vi har allerede tegnet
en tegning her. Dette her er grafen til f(x)=4-x^2. Den går nedover her. Og så har vi grafen
til funksjonen gitt ved g(x)=x^2. Den starter i origo og går oppover hit. Så er vi interessert
i området som er avgrenset av de to funksjonsgrafene, y-aksen og linja x=2,
og da ligger i tillegg i første kvadrant. Det er dette området her. Nå kan vi regne ut både arealet til
dette området. Vi kan regne ut omkretsen. Vi kan også begynne å se på noen romlige legemer vi får
når vi dreier dette området rundt y-aksen eller rundt x-aksen. Ved hjelp av integralet så kan vi da
finne ut både volum, areal og lengder. Vi kan starte med areal.
Da ser vi at dette området vi er interessert i, det består jo på en måte av to områder. I dette
punktet her så skjer dette noe. Fram til dette punktet, ligger funksjonsgrafen til f
over funksjonsgrafen til g, mens fra dette punktet og ut til x=2 så ligger altså
funksjonsgrafen til g over funksjonsgrafen til f. Vi vil vite hva dette punktet er. Da finner vi det
ved å sette funksjonsuttrykkene lik hverandre. Det gir ligningen 2x^2=4. Siden x skal være positiv
(vi er i første kvadrant), så får vi løsningen x=roten av 2.
Her har vi roten av 2. Når vi skal finne arealet nå, så skal vi prøve å finne et integral som
gir oss den størrelsen. Vi ønsker å integrere langs x-aksen. Det betyr at vi deler opp x-aksen
i veldig fine biter. Når vi skal ha arealet, så skal vi da se på sånne syltynne rektangler, og så
legger vi sammen veldig, veldig mange av disse her, og får da en grense som er integralet og som gir
oss arealet av dette krumme området.
Hvis vi da integrerer fra 0 til roten av 2 og vi tar integralet av f, så får vi jo hele området under
funksjonsgrafen til f. Nå er vi ikke interessert i hele det området, for vi skal ikke ha med det som
ligger under g. Det betyr at da kan vi trekke fra arealet vi får ved å integrere g fra 0 til roten av 2.
Da får vi dette arealet.
Det betyr at integralet fra 0 til roten av 2 av f, som er 4-x^2 minus g
med hensyn på x, det vil gi oss arealet av det første skraverte området.
Så må vi plusse på arealet av det andre skraverte området, og da har f og g byttet plass.
Da er det g som ligger øverst. Hvis vi integrerer g fra roten av 2 til 2, så får vi alle disse rektanglene
som ligger under funksjonsgrafen til g. Det betyr at vi får med også denne biten her nede. Da må vi
trekke fra den ved å integrere f fra roten av 2 til 2. Da får vi trukket fra alle disse uendelig
tynne rektanglene som ligger under funksjonsgrafen til f. Da plusser vi sammen
disse to arealene. Vi integrerer fra roten av 2 til 2, og da bytter vi roller. Så får vi x^2-(4-x^2).
Hvis vi regner ut det, så finner vi altså arealet av dette skraverte området.
Analysens fundamentalteorem hjelper oss med det. Da handler det om å finne en antiderivert til
disse uttrykkene og sette inn grensene. Da gjør vi det. Da skal vi integrere (4-2x^2),
og så skal vi plusse på integralet fra roten av 2 til 2 av 2x^2-4.
Dette her er da polynomuttrykk. Integrandene er polynomuttrykk og de er greie å integrere.
Vi får 4x - (2/3x^3) og så skal vi sette inn 0 til roten av 2. Så får vi 2/3x^3
minus integralet av konstant funksjonen 4. Det er 4x.
Da får vi roten av 2 til 2.
Så setter vi inn grensene.
Da får vi 4*roten av 2. Hvis vi setter inn roten av 2 her, får vi (roten av 2)^3 = 2*roten av 2.
Vi får (4*roten av 2) / 3. Så setter vi inn 0, men det gir bare 0. Da får vi ikke
noe mere bidrag derfra. Så går vi hit og da setter vi inn 2 først. Da får vi 2^3 = 8*2 = 16.
Setter vi inn 2 her får vi -8.
Så setter vi inn roten av 2 her, og da får vi igjen (2*roten av 2)*2 med minus. Det blir
- (4*roten av 2) / 3.
Vi får nå minus fordi vi setter inn den nederste grensen. Så får vi minus minus som blir pluss,
4*roten av 2. Så må vi trekke sammen dette her.
Da kan vi trekke sammen konstantene som ikke har roten av 2 i seg. Da får vi 24/3
og 16/3, det blir -8/3.
Så har vi 4*roten av 2 to ganger, det blir 8*roten av 2.
Her har vi -(8/3)*roten av 2. Da kan vi sette disse også på tredjedelene, så får vi (24*roten av 2
- 8*roten av 2) / 3. Hvis vi samler alt dette nå, så får vi (16*roten av 2 - 8) / 3.
Det er jo et veldig pent og eksakt svar. Hvis man ønsker en tilnærming, kan man skrive inn cirka 1,4
for roten av 2 og regne ut nøyaktig hva dette blir. Da har vi funnet arealet av dette skraverte
området.
Vi har nå regnet ut arealet av det skraverte området. Vi skal nå se litt på volumer som vi kan
regne ut ved hjelp av integraler og dette området. Vi starter med å holde x-aksen fast, og så
tenker vi oss at vi roterer dette området rundt x-aksen. Da får vi fram en romlig figur som vil ha
et volum. Det volumet kan vi også regne ut ved hjelp av et integral. Da handler det litt om
hvordan skal vi sette opp denne formelen for dette volumet vi får.
Da tenker vi følgende. Her har vi x-aksen og så har vi da en funksjonsgraf. Og så skal vi da
rotere den rundt x-aksen. Da får vi fram
et romlig legeme her.
Igjen så skal vi få fram et integral, og vi skal integrere med hensyn på x. Det betyr at vi
skal dele opp x-aksen i bitte, bittesmå biter. Når vi regnet ut arealet, så fikk vi syltynne rektangler
som vi skulle legge sammen. Nå vil vi få syltynne sylinderbiter som vi skal legge sammen.
Da tenker vi oss at høyden i disse sylinderbitene som vi skal legge sammen,
de blir sånne små dx-er.
Radiusen i denne sylinderen, den er jo nettopp gitt ved funksjonen vår. Radien vil variere
med funksjonsverdiene. Da får vi volumet av en sånn liten bit er pi*r^2 og r er f(x).
Og så da ganger den bitte, bittelille høyden. Det er altså når vi går mot grensen og summerer alle
disse bittesmå, at vi får fram integraltegnet og dx-symbolet.
Vi tar et omdreiningslegeme om x-aksen. Det har et volum som er gitt ved formelen ved at
vi integrerer mellom to grenser.
For eksempel hvis vi er interessert i dette området fra a til b og dreier det rundt x-aksen, så får vi
altså pi*f(x)^2 fordi det er er r^2, og så dx.
Da bruker vi den formelen på dette området her. Først går vi da fra 0 til roten av 2,
for da har f og g to bestemte roller, f ligger over g. Hvis vi da tenker oss at
vi får ut volumet når vi dreier f rundt x-aksen, så setter vi inn f i denne formelen. Men da får
vi med det volumet som ligger under her, da følger det med. Vi må trekke fra det volumet vi får
når vi dreier g rundt x-aksen. Volumet av den første biten
blir i dette tilfellet-- da får vi fra 0 til roten av 2, pi*f og den var 4-x^2.
Det er da volumet vi får når vi dreier hele f, og så må vi trekke fra volumet vi får fra 0 til roten av 2,
når vi da dreier g som het x^2 rundt x-aksen.
Da har vi kommet hit og fått det volumet. Så får vi resten av volumet ved å bytte om rollene
til f og g. Da tar vi først volumet vi får når vi dreier g, og så må vi trekke fra det volumet som da vil ligge
inni her og som er under f. Da blir det pluss, og så kommer integralet fra roten av 2 til 2. Da kommer g først.
Så må vi trekke fra integralet når vi da roterer f.
Da har vi satt opp et stort uttrykk. Dette uttrykket gir altså volumet vi får når vi dreier
hele dette området rundt x-aksen. Nå er det igjen bare å bruke analysens fundamentalteorem,
finne antideriverte funksjoner til disse integrandene og sette inn grensene. Da gjør vi det.
Vi må regne litt.
pi kan vi godt sette helt utenfor.
Så ganger vi ut. Da får vi 16-8x^2+x^4.
Dette er også et integral fra 0 til roten av 2, så vi kan godt trekke det sammen med disse integralene.
Vi har satt pi utenfor, så nå får vi -x^4. Da faller disse to mot hverandre.
Det var integralet fra 0 til roten av 2. Så har vi to integraler fra roten av 2 til 2
hvor vi kan slå sammen integrandene og sette pi utenfor. Da får vi x^4-16+8x^2
(men minus, det blir pluss), og så får vi -x^4. Da faller disse to
mot hverandre, så det blir litt mindre å regne ut.
Igjen setter vi pi helt utenfor og så finner vi en antiderivert. Da får vi 16x - (8/3x^3).
Her skal vi sette inn grensene fra 0 til roten av 2.
Her får vi -16. Vi finner en antiderivert, da blir det -16x + (8/3x^3) fra roten av 2 til 2.
Og så skal vi sette inn grensene.
pi utenfor. Hvis vi setter inn roten av 2, så får vi 16*roten av 2. (roten av 2)^3 = 2*roten av 2 ganger 8/3,
det blir (16*roten av 2) / 3. Setter vi inn 0 får vi 0, så det blir ikke noe bidrag. Så setter vi
pi utenfor og fortsetter i parentesen. Setter inn 2, da får vi -32.
+ 2^3 = 8*8 = 64.
Så får vi minus det vi får når vi setter inn
roten av 2. Da står det minus minus, så det blir + 16*roten av 2. -(roten av 2)^3 = 2*roten av 2,
det blir -(16*roten av 2) / 3.
Da handler det bare om å trekke litt sammen.
Da får vi (16*roten av 2 + 16*roten av 2) = 32*roten av 2
- ((32*roten av 2) / 3). Så har vi fortsatt -32.
Hvis vi gjør om det til tredjedeler, så får vi -96+64=-32, -32/3.
Hvis vi setter dette på tredjedeler nå, får vi 96*roten av 2 - 32, det er ((64*roten av 2) / 3) - 32/3.
Da kan vi godt, helt til slutt, sette svaret oppi hjørnet her. Volumet vi får når vi dreier dette
området rundt x-aksen, blir altså ((64*roten av 2 - 32) / 3) * pi.
Da har vi brukt integralet til å regne ut et volum.
Vi har nå regnet ut arealet av dette området, og vi har også sett på volumet vi får når vi dreier
dette området rundt x-aksen. Vi kan også dreie området rundt y-aksen, og da får vi også frem et volum.
Et annet type volum, men vi kan fortsatt finne et integral som gjør oss i stand til å regne ut
hva det volumet faktisk blir. Så da tenker vi oss, hvis vi dreier denne rundt rundt y-aksen--
vi prøver å være symmetriske--
kan vi sånn ca. visualisere hvordan dette volumet blir seende ut.
Vi tar dette området og dreie rundt y-aksen.
Da får vi et volum. Spørsmålet er nå, hvilket integral er det vi skal få fram for å regne ut dette volumet?
Da vil vi fortsatt integrere langs x-aksen. Vi holder fast ved det. Vi skal fortsatt
dele opp x-aksen i uendelig bittesmå biter. Det vi får ut nå når vi dreier rundt y-aksen,
får vi da bittesmå sånne sylinderskall som da blir liggende utenpå hverandre. Høyden vil igjen
være gitt ved funksjonen. Vi tenker oss et sånt skall.
Mange sånne skal ligge utenpå hverandre.
Høyden i dette skallet-- her vil funksjonsgrafen variere, og så dreier vi den rundt y-aksen.
Vi har en funksjon og dreier den rundt. Da ser vi at denne lille tykkelsen er en sånn dx.
Så har vi fortsatt høyde f(x). Så er spørsmålet, hva er arealet av et sånt lite skall
med en bitteliten tykkelse? Det vi gjør da, er at vi klipper av kanten her og bretter dette ut.
Da ser vi mye lettere hvilken formel vi får ut. Nå tenker vi at vi bretter ut dette skallet.
Da står vi her med omkretsen
rundt dette skallet. Radien er jo gitt ved et x-koordinat. Så denne radien her, den kan vi
tenke oss er 2pi*x. Høyden er funksjonsverdien, som vil variere.
Hvis vi tar dette området rundt y-aksen, så vil høyden på disse skallene
variere med funksjonsverdien. Så var det denne lille tykkelsen, den tenker vi er dx.
Vi får en formel. Vi skal summere alle disse små skallene, og får et omdreiningslegeme om y-aksen.
Det har et volum. Da er det gitt ved integralet mellom to grenseverdier. Hvis vi vil gå herfra
og ut hit, ta dette området og dreie rundt y-aksen.
Da får vi 2pi*x som er grunnlinjen i det skallet, ganger høyden, og så ganger tykkelsen.
Det er tankegangen bak dette integralet. Matematisk så ligger det da en grenseprosess i å få ut
integraltegnet og dx, differensialet til x. Dette er et integral med hensyn på dx. Da har vi formelen.
Da kan vi bruke den til å regne ut dette volumet akkurat i det tilfellet hvor vi har 4-x^2
og x^2-grafen.
Så da tar vi først området fram til roten av 2, og så dreier vi da f(x)-grafen om y.
Da setter vi inn funksjonsuttrykket til f i formelen. Da får vi med denne biten som ligger
under her også, og den skal vi ikke ha med. Da trekker vi fra den biten vi får ved å dreie funksjonsgrafen til g
om y-aksen. Da får vi volum først fra 0 til roten av 2, av 2pi*x og så er det f, det var 4-x^2.
Da har vi hele dette området rundt y-aksen og så trekker vi fra g. Da får vi minus fra 0 til roten av 2, 2pi*x*g, som var x^2.
Da har vi fått volumet når vi dreier den skraverte biten rundt y-aksen. Så må vi legge til den.
Da skifter jo f og g rolle. Da tar vi først det vi får når vi dreier funksjonsgrafen til g rundt y-aksen,
og så trekker vi fra det volumet vi får når vi dreier denne biten, som er da funksjonsgrafen til f
rundt y-aksen.
Da får vi volumet fra roten av 2 til 2 av 2pi*x*x^2, for det er g. Så trekker vi fra volumet
vi får når vi da setter inn f.
Dette uttrykket, fire integraler, det gir volumet når vi tar dette skraverte området rundt y-aksen.
Igjen har vi satt opp et integral som gir volumet. Da må vi regne det ut ved å bruke
analysens fundamentalteorem, finne en antiderivert til integrandene og sette inn grensene.
Da blir det litt regning. 2pi kan vi godt sette helt utenfor. Så får vi integralet
fra 0 til roten av 2. Så får vi 4x-x^3. Dette er altså et integral fra 0 til roten av 2
så vi setter det inn i samme integraltegn, 2pi på utsiden. Så får vi -x^3. Så får vi pluss et integral
fra roten av 2 til 2. Så kan vi godt sette 2pi utenfor her også.
Da får vi x^3-4x+x^3 (minus minus er pluss).
Da kan vi sette 2pi utenfor. Så skal vi prøve å gjøre flere operasjoner på en gang.
Vi ser om vi får til det. Vi integrerer 4x, da får vi 2x^2.
Så har vi -2x^3, da får vi (-1/2)*x^4 når vi integrerer -2x^3.
Så skal vi da sette inn grensene fra 0 til roten av 2.
Der har vi 2x^3. Når vi integrerer det så får vi (1/2)*x^4 - 2x^2 fra roten av 2 til 2.
Og så skal vi sette inn grensene.
Da får vi 2pi utenfor.
Så får vi (roten av 2)^2= 2*2 = 4. Her får vi (roten av 2)^4.
Det blir 4/2=2. som gir 4-2=2.
Setter vi inn 0 så får vi 0, så det gir ingen bidrag. Så setter vi inn 2 her, da får vi 2^4
som er 16/2=8.
-4*2=-8. Det blir 8-8, det forsvinner. Så setter vi inn roten av 2. Da får vi 4/2= 2.
2-4=-2. Det blir minus minus 2, så det blir +2. Dette blir 2pi*4=8pi.
Det er et veldig pent svar. Vi er i ferd med å utforske dette skraverte området og se hvor
mange integraler vi kan sette opp og hvor mye vi kan regne ut av dette her. Det er flere ting
vi kan regne ut, for eksempel omkretsen av dette området. Da handler det først og fremst
om å legge sammen fire bidrag her. De to ytterste er greie fordi de er rette, så denne lengden er 4.
Denne lengden her borte er også 4.
Hva er lengden av denne kurven og den kurven der? De må vi også ha med. Hvis vi legger sammen den,
den, den og den, så får vi omkretsen.
Da handler det om å finne den såkalte buelengden til en kurve som krummer på seg og som ikke er rett.
Da tar vi og forstørrer det opp litt. Her har vi x-aksen.
Så tenker vi oss to punkter. Vi kan kalle de xi-1 og xi.
Hva er avstanden fra xi til xi-1 langs denne kurven? Det vi gjør da, det er å tilnærme den
med en rett linje. For rette linjer, det vet vi lengden til. Spesielt så kan vi finne lengden
til denne rette linja hvis vi tegner en rettvinklet trekant og bruker Pytagoras.
Da får vi lengden på denne, xi - xi-1.
Så har vi denne kateten. Her oppe har vi funksjonsverdien i xi, og så trekker vi fra
funksjonsverdien i xi-1, og så setter vi da dette inn i Pytagoras. Da får vi lengden
til dette linjestykket, den kan vi kalle L. Lengden til L er gitt ved
(xi - xi-1)^2 + (f(xi) - f(xi-1))^2, og så roten av dette.
Igjen skal vi dele opp.
Vi skal dele opp langs x-aksen. Vi skal derivere med hensyn på x, vi skal finne en buelengde.
Vi lager disse her intervallene bitte, bittesmå. Nå er dette intervallet forstørret opp, og da summerer vi
mange sånne bittesmå, rette linjer. Hvert av disse rette linjestykkene
vil ha denne lengden. Hvis vi deler på (xi - xi-1)^2
her inne i rottegnet, får vi 1 her. Så får vi (f(xi) - f(xi-1))^2 / (xi - xi-1)^2.
Når vi da tar denne grenseprosessen, så kjenner vi igjen det som står her
som den deriverte i et punkt, f'(x). Så faktoriserer vi ut (xi - xi-1)^2
utenfor rottegnet, og da får vi også en sånn bitteliten differanse i x-retningen på utsiden,
som blir til en dx når vi går til en grense. Det vi står igjen med, er at buelengden til en funksjonsgraf mellom a og b,
det er da gitt ved integralet fra a til b av roten av 1 (vi får det ved å dele på (xi - xi-1)^2
inni rottegnet). Så kjenner vi igjen
den deriverte i annen, og så får vi dx.
Dette er formelen for buelengden til funksjonsgrafen til f fra a til b. Da kan vi bruke det
i dette tilfellet og finne omkretsen.
Da får vi omkretsen til dette området. Vi kan jo godt sette opp 2*4 med en gang, sånn at vi
ikke glemmer de to rette strekene.
Så er det buelengden av denne grafen. Den blir da integralet fra 0 til 2 av 1 pluss den deriverte
av denne grafen, som er 4-x^2, det blir -2x^2. Så plusser vi på buelengden til g
fra 0 til 2. Da får vi 1 pluss den deriverte av g, som er x^2. Det blir 2x. Her har vi nå et uttrykk
for omkretsen til dette området.
Hvis vi regner litt til, så ser vi at da får vi 8 pluss integralet fra 0 til 2 av 1+4x^2,
roten av det. Pluss integralet fra 0 til 2 av 1+4x^2, roten av det også. For å finne omkretsen,
så må vi løse dette integralet, som vi får to kopier av. Da skal vi gjøre det.
For å regne ut omkretsen til dette skraverte området, så ender vi opp med å skulle løse dette
integralet.
Vi skal integrere roten av 1+4x^2. Hvilke funksjoner er det som er sånn, at når vi deriverer,
så får vi altså roten av 1+4x^2?
Denne type integraler finnes det formler for. Vi har tenkt å se litt på hvor disse formlene
kommer fra, og faktisk regne ut hva svaret blir. Det er altså buelengden av en slik bue.
Det første vi ønsker, er å få vekk det 4-tallet.
En måte å gjøre det på, er da å skrive 1+4x^2 som 1+2x^2, og da substituere u=2x.
Da gjør vi det. Vi setter u=2x inn i det integralet. Det betyr at du=2 dx.
Så kan vi godt skifte grense samtidig. Når x=0, så blir u=0. Når x=2, blir u=4. Det betyr at
dette integralet i u, er da integralet fra 0 til 4. Så har vi 2, som da blir til 1/2.
Roten av (1+u^2) du.
Vi skal nå integrere roten av (1+u^2).
Da er det noen trigonometriske identiteter som kan være nyttig å bruke. Siden det står pluss her,
så er det de hyperbolske funksjonene som gjør sin inntreden. Vi har at cosh^2 x
- sinh^2 x = 1.
Da ser vi at hvis vi flytter over sinh^2 x hit, så får vi cosh^2 x = 1 + sinh^2 x.
Hvis vi setter u=sinh^2 x, så får vi cosh^2 x under rottegnet
og så blir vi kvitt rottegnet, for da får vi igjen cosh x.
Vi kan godt sette u=sinh x.
Så venter vi litt med grensene. Det betyr at nå ser vi
på det ubestemte integralet. Når vi da substituerer her, så får vi u=sinh x,
og du=cosh x.
Roten av (1+u^2) blir til cosh x og du blir også til cosh dx.
Nå har vi fått integralet cosh^2 x. For å løse dette integralet,
så må vi da løse dette.
Det er litt tilsvarende regning som cosinus og sinus uten hyperbolicus.
Vi bruker delvis integrasjon og setter s=cosh x og t'=cosh x.
Da blir s'=sinh x. og t=sinh x. De hyperbolske funksjonene endrer altså ikke forttegn
når vi deriverer. Den deriverte av cosh x er sinh x,
og den deriverte av sinh x er cosh x. Hvis vi setter inn det i formelen for delvis integrasjon,
får vi cosh x*sinh x. Så får vi minus integralet av sinh^2 x.
Da er det altså dette lille trikset, at vi bruker identiteten igjen for å få inn cosh^2 x her,
og så er det dette integralet vi vil regne ut. Da får vi sjansen til
å gjøre det.
Det betyr at hvis vi tar enda en liten mellomregning her, så får vi cosh^2 x
er lik cosh x*sinh x. sinh^2 x, det er cosh^2 x - 1.
Her får vi integralet av cosh^2 x - 1.
Da kan vi flytte over hit. Så får vi at 2*integralet av cosh^2 x = cosh x*sinh x
pluss integralet av den konstante funksjonen 1, som er x.
Og da kan vi sette inn dette uttrykket
i denne formelen, og regne videre.
Vi er i ferd med å regne ut dette integralet, og har substituert u=2x og fått et nytt integral u,
og også skiftet grenser. Det er dette integralet vi nå ønsker å regne ut, for å finne buelengden
på en av disse buene.
Ved å substituere u=sinh x, så får vi da foreløpig dette uttrykket. Nå har vi regnet ut
ved delvis integrasjon, et uttrykk for integralet av cosh^2 x. Det får vi nå ut
ved å dele på 2 på denne siden. Det gir at integralet av cosh^2 x = 1/2cosh x*sinh x
+ 1/2x + C, siden vi nå har det ubestemte integralet.
Så nå kan vi sette inn i dette uttrykket her.
Først så skal vi regne oss tilbake til u. Det betyr at vi nå skal regne ut integralet
fra 0 til 4 av 1/2, roten av (1+u^2) du. Da må vi sette inn her.
u er sinh x, så denne er grei.
Hva er cosh x?
Jo, da bruker vi denne formelen. Så får vi cosh^2 x, det er 1 + sinh^2 x (det er u),
dette blir roten av (1+u^2).
Vi skal straks skrive det inn her.
Og så var spørsmålet, hva med x?
u=sinh x, hva er da x uttrykt i u?
Det er da vi har en formel som sier at arcsinh x = ln(x + roten av (1+x^2)).
Nå skal vi skrive inn alt dette. Vi får 1/2, og så setter vi inn for dette uttrykket
som vi regnet her nede. Da får vi 1/2 cosh x som er roten av (1+x^2),
sinh x som er u,
pluss 1/2 og så var det da x som altså er arcsinh x.
Det er ln(x + roten av(1+x^2)). Så har vi grensene fra 0 til 4.
Så da gjenstår det bare å sette inn grensene.
Da kan vi godt sette 1/4 på utsiden, hvis vi ganger ut 1/2 med 1/2. Når vi setter inn 4 her,
så får vi 1+16, det blir roten av 17*4, det blir 4*roten av 17. Så setter vi inn 4 her, da får vi
fortsatt roten av 17+4. Vi får ln(4 + roten av 17).
Når vi setter inn 0, så får vi 0 fordi det står u her. Så får vi ln(0+1), som er 1, og ln 1=0.
Vi får ikke noe bidrag når vi setter inn 0. Det betyr at buelengden
til denne ene buen her er altså dette uttrykket, 1/4(4*roten av 17 + ln(4 + roten av 17)).
Den totale omkretsen til dette uttrykket blir 2 ganger dette uttrykket her, pluss 8 som er bidragene
fra disse to. Da kan vi prøve å skrive opp det helt til slutt. Omkretsen er
8 + 2 ganger dette uttrykket, så det blir bare 1/2 utenfor her.
Vi får 1/2(4*roten av 17 + ln(4 + roten av 17)). Kanskje ikke så veldig pent tall, men dette her er veldig typisk svar
når vi regner ut buelengder til en graf.