Vi skal nå snakke litt om omvendte funksjoner, som også kalles inverse funksjoner.
Har vi en funksjon som går fra en mengde inni en annen mengde, ønsker vi å si om vi kan gå den andre veien,
altså herfra og tilbake igjen. For eksempel, hvis vi har en melding vi vil sende til noen
og som skal være hemmelig, så kan vi ha noen bokstaver som vi lager om til tall,
så regner vi ut et tall fra denne meldingen. Kan man da gå tilbake igjen til den opprinnelige meldingen?
Det handler om inverse operasjoner. La oss ta en x. Hvis vi sender den til 3x,
det betyr at da ganger vi tallet med 3.
Spørsmålet er da, kan vi gå tilbake igjen? Hvis vi tar en y, hva skal den da sendes på for at
vi skal komme tilbake til der vi startet? Jo, da blir det 1/3y. Det å gange med 3
og gange med 1/3, det er inverse/omvendte operasjoner. Det betyr at hvis vi da starter med x,
ganger med 3 og setter 3x=y, og vi da går tilbake og ganger med 1/3, så blir det likhet her også.
Når vi da har ligningen x=3y, så kan vi løse ut og få y=1/3x.
Tilsvarende, hvis vi plusser på 3 isteden, så får vi x+3.
Hva må vi gjøre for å komme tilbake til x? Kan vi det på en entydig måte?
Det kan vi. Hvis vi trekker fra 3, så kommer vi tilbake igjen. Hvis vi starter med x,
plusser på 3 og setter dette lik y og så trekker vi fra 3, så får vi y-3=x. Da kan vi komme tilbake
til den samme x-en som vi starter med.
Hvis vi nå prøver å kvadrere x, det betyr at vi sender x til x^2.
Så tar vi y her borte og prøver å ta den omvendte operasjonen. En omvendt operasjon av å opphøye i annen,
er å ta kvadratroten. Hvis vi tar roten av y, kan vi både få +/- roten av y.
Da vet vi faktisk ikke hvilket tall vi startet med. For eksempel kunne vi
ha startet med 2 og så fått 4. Hvis vi da starter med 4 og tar roten av 4, så får vi både +/- 2.
Da vet vi ikke om vi startet med +/- 2. Noen ganger klarer vi å finne
en omvendt operasjon, og andre ganger klarer vi det ikke helt.
Det vi ønsker og det vi har, er en funksjon fra en definisjonsmengde inn i en verdimengde.
Hvis vi skriver funksjonen på denne måten, så treffer vi alle elementer her borte.
Så må vi huske hva en funksjon er for noe. Den er altså en regel som til ethvert element her,
tar bare ett element her borte. For hvert element her, så finnes det kun en verdi her borte.
Det skal vi gjøre den andre veien. Hvis vi skal kunne ta en omvendt operasjon, skal dette
gjelde motsatt også. Til hvert element her, så finnes det kun ett element her borte.
I dette tilfellet her så gjør det ikke det. Til hvert element her så finnes det ikke bare ett,
men to elementer.
Det betyr at hvis vi skal kunne gå tilbake, hvis vi skal kunne ha en invers funksjon, så må vi ha
at hvis funksjonsverdien for to x-er er lik, så må x-verdiene også være like.
Dette gjelder ikke for alle funksjoner. Det gjelder ikke for kvadreringsfunksjonen,
men det gjelder når vi plusser og ganger med et tall. Dette kalles injektive funksjoner.
Har vi en injektiv funksjon, da har vi en invers og kun da. Så hvis vi har dette oppfylt,
har f en invers/omvendt funksjon. Den skriver vi gjerne f^-1.
Det er ikke en vanlig eksponent opphøyd i -1, så dette er ikke 1/f.
Dette står for den inverse funksjonen. Den går da fra Vf til Df.
Den er definert ved f^-1(y)=x, slik at f(x)=y.
Poenget er at det finnes kun en slik y. x er det eneste elementet slik at f(x)=y.
Når vi har injektive funksjoner, har vi en invers funksjon. Da bytter altså x og y plass.
Verdimengden og definisjonsmengden til f, blir da definisjonsmengden og verdimengden til f^-1.
Det skal vi se enda litt nærmere på nå.
I omvendte eller inverse funksjoner bytter x og y rolle. Det betyr spesielt at
hvis vi har et punkt (x, y) på grafen til f, så vil punktet (y, x) ligge på grafen til den inverse funksjonen.
For eksempel hvis vi tegner funksjonen 3x, så er det linjen med stigningstall 3.
På den linja så ligger da for eksempel punktet (1, 3). Den inverse funksjonen er 1/3y.
Da ser vi at nå må vi veksle mellom rollene til x og y. Hvis vi skal tegne denne,
så må vi tenke på dette som grafen til 1/3x for at vi skal få det inn i samme koordinatsystem.
Hvis vi tegner inn 1/3x, da får vi linjen med stigningstall 1/3. Da ser vi
at punktet (1, 3) ligger på den grafen. (3, 1) ligger på linja 3x, og (1, 3) ligger på linja 1/3y.
En annen ting vi ser er at siden y og x bytter rolle, så vil det i grafene
til de inverse funksjonene alltid være speiling om linja der y=x.
Det ser vi i tilfeller hvor vi plusser på 3 og trekker fra 3. Da har vi linja x+3.
Den går gjennom 3, og så har den stigningstall 1. Så har vi linja x-3. Når vi skal ha
det samme koordinatsystemet, så må vi skifte variabel til x. Den går gjennom punktet -3
og har stigningstall 1, så den blir parallell med denne linjen her. De vil også være speilbilder
av hverandre om linja y=x.
Så da er spørsmålet, hvordan kan man sjekke at en litt mer avansert funksjon har en invers,
for eksempel hvis y = x^1/3 + 3?
Har den funksjonen en invers funksjon?
En mulighet er å løse ut for x og se om vi får en entydig løsning, altså ikke 2 løsninger
sånn som vi fikk når vi tok roten, men bare ett uttrykk for x. Da løser vi ut for x. Vi får y-3 = x^1/3.
Så opphøyer vi i tredje. Da får vi at x = (y-3)^3. Det er kun en løsning for x,
og da ser vi at denne funksjonen er injektiv på hele sitt definisjonsområde, som er hele R.
En annen måte å sjekke at vi har en injektiv funksjon på, som dermed har en invers, er å se på grafen.
Grafen til en injektiv funksjon, den vil jo nettopp være sånn at hvis vi tegner en horisontal linje,
vil den alltid bare skjære grafen i et punkt. For hver horisontal linje,
vil grafen skjære denne horisontale linjen bare i ett punkt. Da har vi en injektiv funksjon.
En annen måte å sjekke at vi har en injektiv funksjon på, er å sjekke om den er monoton.
Den er enten voksende eller avtagende. Da vil den oppfylle dette her. Hvis den er enten bare voksende
eller bare avtagende, så vil vi for hver horisontale linje bare treffe funksjonsgrafen i ett punkt.
Hvis funksjonen er monoton, så er den injektiv, og da har den en invers funksjon. En annen måte
å sjekke at denne har en invers funksjon, er å derivere den. Hvis vi tar y'(x) med hensyn på x,
får vi 1/3x^-2/3.
Dette uttrykket er alltid positivt. Den er ikke deriverbar for x=0,
men det sier at denne funksjonen er voksende. Dermed er den injektiv og har en invers.
Her har vi klart å finne et uttrykk for den inverse funksjonen. Men det klarer vi ikke alltid å gjøre.
Vi kan si en del om den inverse funksjonen allikevel, og det skal vi se på nå.
Vi kan si en del mer om inverse funksjoner. For eksempel, hvis vi starter med en x og bruker f(x).
Så bruker f^-1 på dette igjen, så vet vi at vi får tilbake x. Det er nettopp
det omvendte funksjoner handler om.
Har vi to uttrykk i x som er lik hverandre, det betyr at vi kan derivere på begge sider
og fortsatt få likhet. Så la oss gjøre det og se hva som skjer. Hvis vi nå deriverer
på venstre side, så får vi den deriverte av en inversfunksjonen med hensyn på f(x). Så må vi gange med
den deriverte av kjernen som er f'(x). Hvis vi deriverer på høyre side, får vi 1.
Dette sier nå at f'(x), hvis vi lar den stå igjen på venstresiden, er 1 / f'(x)^-1
med hensyn på f(x).
Det er en veldig fin sammenheng.
Det betyr også at vi kan godt innføre denne y-en som f(x). Så står det altså y her.
Hvis vi skal finne den deriverte av en funksjon i et punkt x, så kan vi bruke den omvendte funksjonen
og sette inn f(x) i den deriverte for den omvendte funksjonen, eller motsatt. Vi kan jo også beholde denne
på venstresiden, og så få 1 / f'(x) isteden. La oss sjekke denne regelen
på dette eksempelet her. Nå har vi allerede derivert y eller f
med hensyn på x, og da fikk vi dette uttrykket her. La oss ta et punkt som ligger på funksjonsgrafen.
f(x) = x^1/3 + 3.
Da ser vi for eksempel at f(1)=4. Punktet (1, 4) er med på funksjonsgrafen til f.
Hva er den deriverte i punktet 1?
Jo, det er å sette inn 1 i dette uttrykket, for her har vi derivert. Det er 1/3.
Det betyr, ifølge dette her, at f'(x)^-1 i det tilhørende punktet, altså 4,
er 1 delt på den deriverte i punktet 1, altså 3. Så da ser vi at uten å vite uttrykket for f invers,
så kan vi bruke funksjonen til å finne den deriverte i ulike punkter. I dette tilfellet så har vi
faktisk funnet et uttrykk for f invers. Det heter altså (x-3)^3. Nå har vi byttet variabel
til bare å gjelde x-er, fordi vi er ganske vant til å bruke x som variabel.
Hvis vi deriverer f invers med hensyn på x, så får vi 3(x-3)^2. Hvis vi setter inn 4,
får vi 3*1=3.
Da har vi sjekket at denne formelen stemmer. Denne her er veldig nyttig i forbindelse med
inversee funksjoner, spesielt når vi ikke klarer å finne et uttrykk for den omvendte funksjonen.
Vi skal se på et eksempel på en omvendt funksjon som kan være nyttig, og den kommer fra trigonometri.
Vi ser på uttrykket y=tan x. Det betyr at for hver vinkel, regner vi ut tangensverdien.
Det er da y. Spørsmålet er nå, kan vi gå andre vei? Gitt en y-verdi, kan vi finne
en x som har denne y-verdien som tangensverdi? Da vet vi at det er faktisk flere vinkler
som har samme tangensverdi. For eksempel har både vinkel 0 og pi tangensverdi i 0. Vi kan se det
fra grafen til tangens. Tangensgrafen har flere grener. Hvis vi tegner noen av dem, så ser den sånn ut.
Denne funksjonen er ikke injektiv. Til hver y-verdi finnes flere x-verdier som har samme y-verdi.
Men hvis vi restrikterer oss til et mindre område, bare se på en av grenene
som den mellom -pi/2 og pi/2, da vil vi få en injektiv funksjon.
På dette området vil vi kun få en x-verdi til hver gitte y-verdi.
Hvis vi ser på tan x fra -pi/2 til pi/2 som definisjonsmengde, så vil vi ha verdimengde hele R.
Vi treffer alle verdier i R med tan x.
Denne er injektiv. Det betyr at den har en invers funksjon. Denne inverse funksjonen
har et eget navn. Den kalles arctan x, og den går fra R inn i -pi/2 til pi/2.
Skal vi nå også beholde y en stund til som variabel. Vi startet jo med y=tan x.
Vi kan beholde y som variabel i arctan y.
Vi kan tegne grafen til arctan. Den går altså fra R inn i intervallet -pi/2, pi/2.
Det betyr at den holder seg mellom de to verdiene -pi/2 til pi/2.
Den er speilbilde av denne grenen her om linjen y=x. Da får vi den type oppførsel. Dette her er oppførselen
til arctanfunksjonen.
En veldig viktig ting med oppsettet for inverse funksjoner, er at vi nå kan finne et uttrykk
for den deriverte til arctan. Så hvis vi starter med f(x) = tan x = y,
kan vi bruke den deriverte til tan x. Det er 1 + tan^2 x.
Det blir 1+y^2, for tan x=y.
Hvis vi bruker formelen som vi da har for omvendte funksjoner, så ser vi nå at den deriverte
av den inverse funksjonen med hensyn på y, den skal da være 1 / f'(x), der y og x hører sammen.
Siden f'(x) er 1+y^2, får vi 1 / 1+y^2.
Dermed har vi en formel i dette tilfellet. I dette tilfellet er f invers arctan x.
Hvis vi nå bytter variabel til x istedenfor y,
får vi den deriverte av arctan x som 1 / 1+x^2. Dette er en veldig nyttig formel.
Den kan brukes til for eksempel å regne ut integralet av 1 / 1+x^2.
Det blir arctan x + C. Da ser vi hvordan vi kan bruke teorien for omvendte funksjoner til å få ut
nyttige formler som kan brukes andre steder.