Vi skal nå se på en derivasjonsteknikk som kalles logaritmisk derivasjon. Når vi skal derivere,
skal vi finne forandringene til en funksjon. Vi har mange derivasjonsregler vi kan følge,
som produktregel og kjerneregel. En kombinasjon av dem er kanskje aller mest nyttig i bruk.
Hvis vi for eksempel har en funksjon x^(e^x),
begynner vi å få litt problemer med produktregel, kjerneregel og de kjente reglene vi har.
Nå har vi en variabel både i grunntallsposisjonen og oppi eksponenten.
Det er nå logaritmer og logaritmeregler kommer inn, og kan kombineres med derivasjonsreglene.
Så klarer vi faktisk å derivere denne type funksjoner også. Vi tar ln på begge sider,
den naturlige logaritmen. Så deriverer vi på begge sider. Nå har vi to like funksjonsuttrykk.
Vi kan derivere på begge sider. På venstre side får vi 1 / f(x)
ganger den deriverte av kjernen som er f'(x). På høyre side har vi et uttrykk
med den naturlige logaritmen og x^(e^x). Nå bruker vi regneregler for logaritmer.
Da får vi vi (e^x*ln x)'.
På venstresiden står det fortsatt f'(x) / f(x). Så må vi det derivere dette.
Nå har vi et produkt, så da er vi på kjent grunn. Bruker produktregelen og får e^x*(1 / x) + e^x*ln x.
Da er vi ferdig med å derivere. Nå står det at f'(x) / f(x) er lik dette uttrykket.
Hvis vi ganger opp med f(x) som vi kjenner, får vi f'(x) = x^(e^x).
Vi kan godt sette på felles brøkstek, så får vi (e^x + xe^x*ln x) / x. Kanskje ikke så pent uttrykk,
men vi har funnet et uttrykk for den deriverte.
Dette kalles nå logaritmisk derivasjon. Da kan vi skrive opp hva vi har gjort.
Vi kan nå finne den deriverte til en funksjon.
Formelen blir f(x) ganger den deriverte til logaritmen til funksjonen.
Vi får f'(x) = f(x)*den deriverte(ln(f(x)). Dette gjelder hvis f er deriverbar
og forskjellig fra 0 i punktet x. Da ser vi at denne formelen stemmer.
Hvis vi tar utgangspunkt i ln(fx) og deriverer den, så får vi 1 / f(x)*Df(x), som er kjernen.
Da får vi f'(x) / f(x),
som vi har sett et eksempel på her borte. Og nå skal vi se på et eksempel til.
Vi skal finne den deriverte funksjonen til uttrykket e^(x^2)*(cos x)^(x^1/2).
Generelt, når vi skal derivere en funksjon, så kan det være fint å se på uttrykket og tenke litt,
hvordan er dette uttrykket satt sammen? Her har vi e^(x^2), og så har vi et produkt med cosinusfunksjonen
opphøyd i roten av x. Her borte har vi en sammensatt funksjon.
Vi har en sammensatt funksjon oppe i eksponenten. Vi har en funksjon opphøyd i en annen funksjon.
Så har vi et produkt i tillegg. Da holder det ikke bare med å bruke produktregelen eller kjerneregelen.
Vi tenker da logaritmisk derivasjon. Nå har vi en ny teknikk som vi kan bruke hvis vi står fast og ikke kommer videre.
Da prøver vi å ta ln på begge sider, og så deriverer vi
begge sider med hensyn på x. Da får vi altså den deriverte av ln f(x) på venstresiden,
det er 1 / f(x) * f'(x). På høyresiden må vi regne litt.
Vi har ln til et produkt. Logaritmen til et produkt er summen av logaritmene til de ulike faktorene.
Vi får ln(e^(x^2)) + (ln (cos x)^(x^1/3)). Vi har ikke derivert enda,
vi brukte logaritmereglene.
Men ln e^(x^2), det er x^2. Den deriverte av x^2 er 2x.
Vi er godt i gang allerede. Da får vi 2x for dette leddet. Så må vi derivere ln (cos x^(x^1/3)).
Da kan vi bruke logaritmeregler enda en gang og flytte ned eksponenten. Vi tar med oss
det vi allerede har regnet ut. Så får vi da at vi skal derivere roten av x*ln cos x.
Da har vi et produkt av roten av x og ln cos x som er satt sammen av ln og cos.
Da får vi f'(x) / f(x). Vi får 2x, så beholder vi roten av x og deriverer ln cos x.
Vi får 1 / cos x, og så må vi gange med den deriverte av kjernen som er -sin x.
Så må vi derivere roten av x og beholde ln cos x.
Da står det nå at f'(x) / f(x) er dette uttrykket. Det betyr at f'(x) er f(x) ganger dette uttrykket.
Da får vi at f'(x) = f(x) som er helt her oppe. e^(x^2)*(cos x)^(x^1/2).
Her har vi -sin x / cos x = tan x. Vi får -roten av x*tan x,
og så lar vi dette stå som (1 / (2*roten av x)) * ln cos x.
Nå har vi derivert denne funksjonen også. Husk: vi har logaritmisk derivasjon
som en mulig teknikk, og spesielt kanskje når vi har produkter av flere funksjoner.
Spesielt eksponenter med funksjonsuttrykk. Da kan vi bruke logaritmeregler og kombinere det
med derivasjonsreglene.