Vi skal nå se på hvordan vi kan løse en viss type problemer som går under tittelen koblede hastigheter.
På engelsk er ordene related rates, som kan være greit å merke seg.
Den ukjente i disse problemene er altså en veksthastighet. Hvor fort vokser en viss størrelse?
Vi vet noe om sammenhengen mellom størrelser som forandrer seg, og hvor fort en størrelse endrer seg.
Spørsmålet er hvordan en annen størrelse endrer seg, gitt en viss sammenheng?
Vi starter med et eksempel. Vi tar luft inni en ballong, og vi gjør dette slik at volumet endres
med en konstant fart på 300cm^3/sek.
Hvor fort endres radiusen i denne ballongen når radien er 50 cm? Dette er en ganske stor ballong.
Vi må da også anta at den har tilnærmet kulefasong. Da kan vi bruke formelen
for volumet til en kule.
Når tiden går, så er det flere ting som endres.
Når tiden går så vil volumet endres, og radien i ballongen vil endres. I alle disse koblede hastighetsproblemer,
handler det om at tiden går, og så har vi en sammenheng mellom de involverte størrelsene
som da varierer med tiden. Denne sammenhengen består mens tiden går. I dette tilfellet
vil sammenhengen være å bruke formelen for volumet til en kule. Vi vet at volumet til en kule
er 4/3*pi*(r^3), der r er radiusen til kulen.
Hvis vi har tiden i tillegg som variabel, så vil jo volumet være avhengig av tiden.
r vil også være avhengig av tiden. Da får vi en sammenheng som gjelder for alle tidspunkt
som involverer de to størrelsene volum og radius. Disse endres med tiden.
Da har vi foreløpig en likning, men vi har ikke noe ligning som involverer den ukjente,
som handler om hastighet. Hvor fort øker, eller avtar, disse størrelsene?
Det handler om å få inn den deriverte, for den sier noe om hvordan disse funksjonene vil endres.
Nå har vi to funksjonsuttrykk som er like, og da kan vi derivere
med hensyn på t på begge sider og fortsatt få likhet. Hvis vi deriverer på venstre side
får vi den deriverte av volumet, da får vi endringene til volumet ved tiden t. Så deriverer vi dette
uttrykket med hensyn på t. Da får vi ned et 3-tall som forkortes, og vi får 4*pi*(r(t)^2).
Vi må huske å gange med den deriverte av kjernen, som er r.
r er også en funksjon som har en derivert, den forandrer seg jo.
Nå har vi fått en likning som da er en likning mellom disse hastighetene. Den sier noe om hvordan
disse hastighetene er relatert, eller koblet sammen. Her har vi den koblede hastighetsligningen.
I dette tilfellet er vi interessert i det tidspunktet hvor radien er 50 cm. Vi vet ikke selve tidspunktet,
men vi vet at r(t)=50. Vi trenger ikke å finne et uttrykk for V(t) eller r(t),
det holder med denne ligningen for å svare på dette spørsmålet.
Hvis vi setter inn 50 cm her, og så setter vi inn 300cm^3/sek inn for V'(t), så kan vi løse ut
for r'(t) ved dette spesielle tidspunktet, når r=50. Da får vi at r'(t)
når r(t)=50, så får vi at V(t) skulle være 300cm^3/sek, og så får vi 4pi og r=50^2,
ganger r'(t). Da blir r'(t)=300 / 4pi*(50^2).
Hvis man bruker kalkulator, blir det tilnærmet 0.0098, så nesten 0,01 cm
endres radien per sekund når da radien er 50 cm.
Når vi løser denne typen problemer, så handler det for det første om å finne
den underliggende variabelen som gjerne er t, og så har vi noen størrelser som vil variere med tiden.
I dette tilfellet volum og radius. Så setter vi opp en sammenheng mellom disse størrelsene,
som da vil gjelde for alle tidspunkt. Så kan vi derivere den ligningen, og da er det veldig ofte
at vi må bruke kjerneregel. Da får vi den koblede hastighetsligningen. Så setter vi inn
alle de kjente tingene vi har, og da er vi gjerne interessert i hva som skjer for et bestemt tidspunkt.
Da kan vi sette inn og regne ut slik som ble gjort i dette eksempelet.
Nå skal vi ta et skikkelig praktisk eksempel med Christin. Christin er nemlig en kjent råsyklist som
av og til kommer i trøbbel av den grunn. Her har vi da situasjonen. Her er veien, her kommer Christin
på sykkelen med flagrende hår. Det hun ikke vet, er at her oppe står det en politiradar
rettet inn mot henne.
Den radaren står da 5 m over bakken, og i det øyeblikket Christin er 12 m borte fra broen,
måler radaren hvor fort avstanden mellom radaren og Christin endrer seg. Den endrer seg med 48 km/t.
Hvor er broen? Broen er oppi her, tvers over der oppe. Det er sånn overgang dette her,
jeg vet hvor det er men jeg vil ikke si det offentlig. 48km/t, men det er jo endringen
av avstanden fra kamera til deg, det er ikke den avstanden du sykler med. Hvor fort sykler du her?
Er du over 50 km/t her? Er det håp om en fartsbot? Ja, det er ikke jeg helt sikker på.
Det tar vel kanskje radaren da. Vi regner, matematikken gir oss svaret. Så vet vi at du kan sykle litt
langsommere i framtiden. Når vi har koblede hastigheter, kan vi ikke bare se på et tidspunkt,
vi må se på den generelle situasjonen.
Den generelle situasjonen-- høyden her er alltid 5 m, men avstanden fra deg til broen, den varierer.
La oss si at den ved tiden t er x(t). Da har vi jo en avstand her fra radaren
og ned til deg, som heter y(t). Det vi vet, er hvor mye y(t) endrer seg,
men vi er interessert i farten din som er hvor mye den avstanden x(t) endrer seg.
Vi kjenner y'(t), og vi vil finne x'(t).
Men i sånne koblede hastighetsoppgaver greier vi aldri å finne en direkte sammenheng mellom de to hastighetene.
Vi må finne en kobling mellom disse to utgangsstørrelsene først. Vi må ha en kobling mellom x(t) og y(t).
Den er ikke så veldig vanskelig her, Christin.
Nei, da er det gode, gamle Pytagoras, tenker jeg. Det er gamle, gode Pytagors vet du. Her har vi en katet
og en annen katet, og hypotenusen der. Vi tar hypotenusen i annen.
y(t)^2 er lik den ene kateten i annen x(t)^2, pluss den andre kateten i annen, det er 5^2=25.
Der har vi Pytagoras. Den gjelder gjennom hele bevegelsen her. Dette er to like funksjoner.
Er funksjonene like, så er selvfølgelig de deriverte også like. Da får vi derivere på begge sider.
Da blir det 2y(t), så må vi huske at y selv er en funksjon, så den må også deriveres.
Ganger med den deriverte av kjernen, y'(t). Det blir akkurat det samme for x.
Det blir 2x(t)x'(t). 25 er en konstant. Deriverer vi den, så får vi 0.
Vi har denne sammenhengen. Vi forkorter 2-tallene. Vi er interessert i farten din, x'(t).
Vi får løse for x'(t).
På den andre siden har jeg y(t)*y'(t), så skal jeg dividere x(t) ned.
Da får jeg y(t), og så deler jeg på x(t). De hører sammen.
Så har jeg y'(t) der borte. Da har vi fått riktig.
Du blir målt i det øyeblikket den avstanden x(t) = 12 m. Da vet vi at at x(t)=12.
Så vet vi hva du ble målt til, det var at den avstanden der endres med en hastighet på 48 km/t,
det er y'(t). y'(t) = 48km/t.
Hvor får vi y(t) fra? Det er dette spesielle tidspunktet, hvor x=12.
Den er alltid 5, så da kan vi igjen bruke Pytagoras for å finne ut y(t) på akkurat det tidspunktet.
I dette tidspunktet her er y^2 = 12^2 + 5^2.
Det er 144, og det er 25. Så det er 144+25=169. y^2=169. Det er et pent tall, vi har flaks nå.
Har du tullet med tallene, kanskje? Jeg har syklet akkurat sånn at dette blir pent. Det er veldig bra,
tar hensyn til regneoppgaven når du sykler. Det er ikke alle som gjør det. y(t), tidspunktet vi så på, den er 13.
Det er flere pene tall her. 48=4*12, da får vi 4 der. Da står vi med 13*4.
Hva sier du om det da? Ja, det blir litt over 50. Du syklet i 52 km/t, du. Ja, det er ikke så verst.
Det er litt slingringsmonn på sånne radarer, jeg tror det holder. Pass på litt i framtida. Jeg skal gjøre det.
Vi skal nå se på et problem som handler om koblede hastigheter. Problemet er ikke helt gitt, men vi skal
studere et fenomen og så definerer vi problemet underveis. Vi ønsker å studere et rektangel som vokser.
Det har sider 1 cm og 9/16 cm.
Så ønsker vi at dette rektangelet vokser, men slik at forholdet mellom disse sidene bevares.
Rektangelet vokser, men forholdet mellom sidene bevares. Vi ønsker nå å si noe om
hvor fort arealet av dette rektangelet øker.
Hvis vi har et rektangel med en tid t, så kan vi kalle ene siden for x(t) og den andre siden for y(t).
Da vet vi ihvertfall at vi har en kobling mellom disse to størrelsene. Den sier nemlig at y(t) = 9/16x(t).
Denne koblingen/sammenhengen skal gjelde for alle tidspunkt t.
Og så var det arealet av dette rektangelet ved tiden t.
Det vil jo endres når tiden går. Arealet vil være x(t)*y(t). Ser vi på et bestemt tidspunkt,
så setter vi inn hva x(t) og y(t) er for dette tidspunktet, og da får vi
arealet ved dette gitte tidspunkt.
Når vi ønsker å studere hvordan dette arealet endrer seg, så må vi inn med den deriverte.
Det betyr at vi deriverer denne ligningen som gjelder for alle t. Vi må bruke produktregelen på høyre side.
Da får vi x(t)*y'(t) + x'(t)*y(t).
Her har vi da en koblet hastighetsligning. Den sier noe om sammenhengen mellom de ulike hastighetene.
Da kan man merke seg at for å si noe om hvordan A'(t) endrer seg, så må vi vite x(t)
ved dette tidspunktet, y'(t), x'(t) og y(t). Vi må ha fire størrelser for å finne den deriverte av A.
Nå har vi jo i tillegg denne sammenhengen.
Den gir oss at y'(t) = 9/16x'(t). Her har vi også en ekstra koblet hastighetsligning.
Det betyr at egentlig så trenger vi å vite for eksempel x(t). Da kan vi finne y(t),
og x'(t) så kan vi finne y'(t). Slik kan vi finne A'(t). Da kan vi jo stille oss
selv et spørsmål. Hvor fort øker arealet hvis x'(t)=1/2 for alle t?
Det betyr at x, denne siden her, endres med en 1/2 cm for hvert sekund, hvis vi regner tiden i sekunder.
Hvor fort øker arealet hvis dette her er oppfylt? Samtidig ønsker vi å se på et bestemt tidspunkt,
der for eksempel da x(t)=16.
Hvis x(t)=16, så vil y(t)=9. Da har vi at y(t)=9, nå valgte vi litt pene tall.
Hvis x'(t)=1/2, betyr det at y'(t) for alle tidspunkt t er lik 1/2*9/16 = 9/32.
Da kan vi sette inn hva A'(t) er i dette spesielle tidspunktet, hvor y(t)=9 og x(t)=16.
Vi får 16 ganger y'(t), 9/32. Pluss x'(t), som er 1/2. Ganger y(t)=9.
Hvis vi forkorter, får vi 9/2 + 9/2 = 18/2 = 9.
Da får vi 9cm^2/sek vil arealet øke når er y(t)=9 og x(t)=16.
Nå ser vi at ved å sette opp en sammenheng som gjelder for alle tidspunkt, og her trengte vi også
en sammenheng mellom x(t) og y(t) som gjelder for alle t, så kan vi regne ut den koblede hastighetsligningen.
I dette tilfellet trenger vi fire opplysninger. Men da vil denne ligningen hjelpe oss på vei,
for å kunne si noe om hvordan A'(t) er i et bestemt tidspunkt.
Dette kan vi gjøre for andre tidspunkter, bare vi bestemmer oss for noen av disse verdiene som inngår.