Gumbel-fordelingen er et spesialtelfille av Fisher-Tippettfordelingen (logWeibullfordelingen) og har relasjoner til Gompertzfordelingen. Forskjellen mellom to Gumbelfordelte tilfeldige variable gir en logistisk fordeling.
Gumbel skrev boka Statistics of the extremes (1958) og deltok i utviklingen av ekstremverditeori sammen med den britiske statistikeren Leonard Tippett (1902-1985) og Ronald Fischer (1890-1962). Fisher-Tippett-fordelingen er en kontinuerlige generalisert ekstremverdifordeling. Den har tilknytning til Gumbel-fordelingen (type I ekstremverdifordeling, Fréchet-fordelingen (type II) og revers Weibull-fordeling (type III).
Sannsynligtetthetsfordelingen f(x) for Gumbelfordelingen, hvor µ er gjennomsnittsverdi og β er en konstant:
\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\beta}e^{-\left(\frac{x-\mu}{\beta}\;+e^{\frac{x-\mu}{\beta}}\;\right)}\)
Forventningsverdien E(X)= µ+βγ
gamma (γ) er Euler-Mascheronikonstanten 0.5772
Medianverdien µ-βln(ln2))
Varians Var(X)=π2/6·β2
Sannsynlighetstetthetsfunksjonen for Gumbelfordelingen. Integralet under sannsynlighetstetthetskurven blir lik 1.
For noen utvalgte verdier av gjennomsnitt µ og β:
Den kumulative fordelingsfunksjonen F(x) for Gumbelfordelingen er:
\(F(x)= e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\beta}}}\)
Kumulativ Gumbelfordeling
En standard Gumbelfordeling har vi når µ=0 og β=1, og kumulativ fordelingsfunksjon F(x) blir:
\(F(x)= e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\beta}}}\)