Negativ binomial er beregnet for mer variasjon enn Poissonfordelingen , det vil si der hvor varians er større enn gjennomsnittetet, et tilfelle med mye overdispersjon. En negativ binomial fordeling har likhetstrekk med geometrisk fordeling og angir antall feil (ikke-suksess) for en stokastisk variabel X=k før r-te suksess. For X=k så vil (k+r)-te forsøk gi r-te suksess.For k+r-1 forsøk er det r-1 suksess og k feil (ikke-suksess). Sannsynligheten P for at variabel X=k, sannsynlighetstettheten for en negativ binomialfordeling
\(P(X=k) =\displaystyle \binom {k+r-1}{r-1}p^rq^k\)
hvor r er antall suksess, k er antall ikke-suksess, og p er sannsynligheten for suksess, q er sannsynligheten for ikke-suksess (feil).
Tilfellet hvor for sukksess r=1, e.g. første hjerter i kortstokken tilsvarer den geometriske fordelingen. Binomialkoeffisienter inngår på samme måte som for binomialfordelingen.
Den negative binomiale fordelingen kan for x=0,1,2,…, og q=1-p, beskrives av sannsynlighetstetthetsfordelingen :
\(P(X=k)= \displaystyle\frac{\Gamma (k+r)}{\Gamma(r)\;\Gamma (r+1)}p^rq^k\)
hvor gamma (Γ) er gammafunksjonen.
Forventning E(X) og varians Var(X) for negativ binomialfordeling er lik:
\(E(X)= \displaystyle r\frac{1-p}{p}\;\;\;\;\;\;\, Var(X)= r\frac{1-p}{p^2}\)
I et Bernoulliforsøk (Bernoullieksperiment) er det to mulige utkomme: suksess eller ikke-suksess. Sannsynligheten for suksess er lik p, og sannsynligheten for ikke-suksess er q=1-p. Den negative binomiale fordelingen (NB) angir sannsynlighetstettheten for en forhåndsbestemt antall suksess (r) i en rekke gjenntatte og uavhengige Bernoullieksperimenter. For en stokastisk variabel X er den negative:
\(X \sim \text{NB}(r, p)\)
Den negative binomiale fordelingen uttrykkes litt forskjellig i statistikkpakkene, og forskjellig litteratur. Innen økologi kan man se den som:
\(X \sim \text{NB}(\mu, \theta)\)
hvor parameter mu (µ) er gjennomsnitt og theta (θ) er en dispersjonsparameter (skalaparmeter, størrelse (size)). Når θ øker så nærmer den negative binomiale fordelingen seg Poissonfordelingen
\(X \sim \text{NB}(\mu, \theta)\;\; \; \implies\;\; \lim\limits_{\theta \to \infty} X \sim \text{Pois}(\mu)\)
For Poissonfordelingen er variansen lik gjennomsnittet, men for den negative binomiale fordelingen er variansen en funksjon av kvadratet av gjennomsnittet:
\(Var(X)=\mu + \displaystyle\frac{\mu ^2}{\theta}\)
Den negative binomialfordelingen får et bredere sannsynlighetsområde sammenlignet med Poissonfordelingen.
Litteratur
R Development Core Team (2011). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/