Mengdelære
Begrepet mengde (menge) var tidligere blitt brukt av Barnard Bolzano (1781-1848), gjenoppdaget av Georg Cantor. Bolzano arbeidet med både logikk og mengdelære, og hans Paradoxien des Enendlichen (Paradokser i uendelighet) ble utgitt posthumt i 1851.
Mengdelæren er en del av matematikken. Mengder pleier å angis med store bokstaver og elementene i mengden er atskilt med komma inne i en klammeparentes. For eksempel mengden av ”øyne” eller prikker på en spillterning S={1,2,3,4,5,6}
Mengdene {1, 2, 3} og {4, 5, 6} er ikke like, men de har samme kardinaltall. To mengder har samme kardinaltall hvis det finnes en en-til-en korrespondanse (avbildning) mellom dem.
Cantor fant at det er ikke nødvendig å telle uendelige mengder med like mange elementer. Det holder med en regel om en entydig avbilding, for hvert element i den ene mengden er det tilordnet ett og bare ett i den andre mengden og vice versa. Hvis det finnes en entydig avbildning mellom to mengder så kalles de likemektige. Det finnes både tellbare og ikke-tellbare mengder. De relle tallene er ikke-tellbare. To mengder har like mange elementer (er likemektige) hvis det finnes en entydig avbildning av den ene mengden over i den andre. Det er like mange partall og oddetall. Allerede Galieli Galilei viste at fra de naturlige tallene kan det lages en entydig avbildning som inneholder kvadrattallene.De naturlige tallene og kvadrattallene er likemektige. De naturlige tallene og kubikktallene er likemektige, for hvert telletall finnes det et kubikktall 1, 8, 27, 64 ..
Mengden av de reelle tallene er mer uendelig enn de naturlige tallene, det vil si det er flere reelle tall enn naturlige tall. Cantor viste dette ved at hvis det til ethvert naturlig tall korresponderte et reelt tall i et 1:1 forhold så vil det være plass til flere tall mellom de reelle tallene.
Transfinite kardinaltall er et begrep som ble innført av Cantor for å kunne beskrive uendelige mengder. Kardinaltall er lik antall elementer som inngår i mengden.
Antall elementer i en mengde, for eksempel mengden A, er lik kardinaltallet og utrykkes som alef A (א (A)), hvor alef er den første bokstaven i det hebraiske alfabetet. Hvis mengden A er uendelig er א(A) et transfinit tall.
Alef null er det minste av de infinite kardinaltallene:
\(\displaystyle\aleph _ 0\)
For ethvert kardinaltall er det et større kardinaltall:
\((\aleph _ 1, \aleph_2, \aleph_ 3, \aleph_ 4, \dots)\)
Mengden av de naturlige telletallene 1,2,3,…, er en tellbar mengde, og er således et transfinit kardinaltall. Ofte lar man 0 være med i de naturlige tallene (telletallene). De relle tallene og de irrasjonale tallene ikke tellbare mengder, mens de rasjonale tall (brøker, hvor teller og nevner er heltell, integer, …-3,-2,-1,0,1,2,3,…) er en tellbar mengde. Antall elementer i en mengde A blir א (A), og hvis mengden A er uendelig blir א (A) uendelig. Hvis to mengder A og B er likemektige blir א (A)= א (B). Mengden som bare inneholder tallet 0 blir lik 1. א ({0})=1
Kontiniumhypotesen (kontinuum av de relle tallene), fremsatt av Cator, sier at det ikke finnes noen mengde S hvis kardinaltall befeinner seg mellom heltallene og de reelle tallene.
Det finnes inen mengde S slik at:
\(\aleph_0 <|S|<2^{\aleph _0}\)
Det er ikke noe kardinaltall mellom
\(\aleph_0 \;\; \text{og }\; 2^{\aleph_0}\)
og det finnes heller ikke noe største kardinaltall (Cantors paradoks), samelingen av uendelige størrelser er i seg selv uendelig.
Kontinuitetsproblemet sto førsteplass på Hilberts liste fra den internasjonale matematikkkonferansen i Paris i år 1900.
Hilberts hotell: Et hotell har et uendelig antall rom, og det bor gjester på alle rommene. Om kvelden kommer et et par som vil ha rom. Dette ordnes ved at alle flyttes til neste rom slik at rom 1 blir ledig. Gjestene på rom 1 flytter til rom 2, gjestene på rom 2 flytter til rom 3, osv. 1 → 2; 2 →3; 3→4;..., n→ n+1;....
Flere bl.a. Poincaré var skeptisk til Cantors mengdelære. Cantor var en av de mange som led av melankoli og følelsesmessige problemer og døde på et mentalsykehus.
Logikk og mengdelære
Georg Cantor (1845-1918) innførte mengdelære. Cantor gjorde det mulig å telle uendelige mengder. Mengde A og B har samme styrke hvis det for ethvert element i A finnes ett element i B (en-til-en korrespondanse). Klammeparentes { } angir en mengde, og
\(a \in A\)
betyr at a er et element i mengden A.
Nullmengden eller den tomme mengden
\(\emptyset\)
inneholder ingenting.
Snittet av A og B (skrevet A∩B) er den mengden som er felles for A og B. Både A og B inntreffer. Gitt alle x som er et element i mengden A og mengden B
\(\displaystyle A\cap B=\{ {x|x \in A\;\; \text{og }x\in B}\}\)
\(\displaystyle \{1,2,3\} \cap\{1,3,4\}= \{1,3\}\)
Unionen av A og B (skrevet (AUB) er mengden som er i A, B eller i både A og B. Enten inntreffer A eller B eller begge.
\(\displaystyle A\cup B=\{ {x|x \in A\;\; \text{eller }x\in B}\}\)
\(\displaystyle \{1,2,3\} \cup\{1,3,4\}= \{1,2,3,4\}\)
At er komplement til A, A inntreffer ikke.
Allerede i 1847 forsøkte George Boole (1815-1864) å lage logiske lover, Booleske lover. An investigation of the laws of thought. Fra disse kan man også si noe om sannsynligheter.
Den kommutative loven:
\(\displaystyle A \cap B= B\cap A\)
\(\displaystyle A\cup B= B\cup A\)
Den assosiative loven:
\(\displaystyle (A\cap B)\cap C= A\cap (B \cap C)\)
\(\displaystyle A\cup B) \cup C=A\cup (B\cup C)\)
Den distributive loven:
\(\displaystyle A\cap(B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)\)
\(\displaystyle A\cup(B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cap C)\)
Dette sees enkelt hvis man tegner et Venn-diagram (John Venn (1834-1923).
Hvis A og B ikke inneholder felles data så er snittet av A og B nullmengden. Fra dette kan man slutte at sannsynligheten for unionen av A og B er lik summen av sannsynligheten P for A (P(A) ) og sannsynligheten for B (P(B)).
\(\displaystyle A\cap B= \emptyset \;\;\; \implies \; \; P(A\cup B)= P(A) + P(B)\)
Mengden N som er mengden av alle hele tall bestående av liketall og oddetall:
\(\displaystyle N=\left\{\left\{2,4,6,8,.\dots\right\}\left\{1,3,5,7,\dots\right\}\right\}\)
Bertrand Russels paradoks: (ertrand Russell introduserte begrepet ”Mengden av alle mengder som ikke er medlem i seg selv” (Mengden av alle mengder som ikke er et element i seg selv). Dette er en umulighet, på lignende vis som frisøren som klipper alle som ikke klipper seg selv, men hvem klipper frisøren ?
Bertrand Arthur William Russell forsøkte å sette likhetstegn mellom matematikk og logikk.
Venn-diagram
Venn-diagram ble innført av den engelske matematikeren John Venn (1834-1893) og visualiserer mengder og deres tilhørighet, og har anvendelse innen logikk, sannsynlighetsregning og statistikk.
.
Venn-diagram som viser to delmengder A og B som er delmengder av hverandre og som er en del av mengden S. Uttrykt som sannsynligheter P for union A og B:
\(\displaystyle P(A \cup B)= P(A) + P(B)-P(A\cup B)\)
\(\displaystyle A \cup B \: (\text{hendelse A eller hendelse B (union))}\)
\(\displaystyle A \cap B \: (\text{hendelse A og hendelse B (snitt))}\)
Venn-diagram for to uavhengige delmengder A og B som er undermengder av mengden S.
Snittet av mengden A og B er i dette tilfellet lik den tomme mengde:
\(\displaystyle A \cap B= \varnothing \)
For uavhengige hendelser A og B så er sannsynlighetene:
\(\displaystyle P(A \cup B)= P(A) + P(B)\)
\(\displaystyle P(A \hat B)= P(A) \cdot P(B)\)
Målteori
Målteori er å angi et tall til en undermengde av en mengde. Tallet kan angi en størrelse som lengde, areal, volum eller tid, aller telling antall objekter i delmengden (tellemål, telleheltall, ordinaler). For eksempel Lebesgue-mål i et Euklidsk rom. Målbare undermengder inngår i sigma-algebra (σ-algbra, σ-falt, summen av alle undermengde av en mengde, hvor mengden selv også inngår). Tellemål er antall elementer i en mengde. Vinkelmål som en del 2π-radianer og rotasjon. En mengde kan også være punkter i et topologisk rom. Vitalimengder er mengder som ikke er tellbare. Grunnleggerne av målteori innen matematikk var bl.a. Henri Lebesgue, Émil Borel og Maurice Fréchet. Hausdorff-mål (Felix Hausdorff).
Deskriptiv mengdelære
Den russiske matematikeren Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) arbeidet med deskriptiv mengdelære med tilknytninger til topologi. Luzin ble under Stalin-tiden i Sovjetunionen (USSR) beskyldt for være kontrarevolusjonær, og det ble fulgt opp av diverse andre anklager (Luzin-saken 1936).
Polske topologiske rom og Borelmengder (Émil Borel), Cantor-rom og Hilbert-kube, Baire-rom og tall-injen med reelle tall.