En funksjon er periodisk med periode T hvis for alle t, hvor m er et heltall:
\(f(t+mT)= f(t)\)
Det minste positive tallet T kalles den fundamentale perioden.
De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er eksempler på periodiske funksjoner.
\(\sin (x+2\pi) = \sin(x)\)
Følgende funksjon f(x) har periode T=2, og er satt sammen av to periodiske funksjoner g(x)=2cos(πx) med periode T=2, og h=sin(2πx) med periode T=1.
\(f(x)= 2\cos(\pi x)+ sin(2\pi x)\)
Eksempel på en diskontinuerlig perdiosk funksjon
\(f(x)= sgn\left(\sin(2\pi x)\right)\)
Den komplekse funksjonen
\(e^{inx}= \cos nx + i\sin nx\)
er også et eksempel på en periodisk funksjon.
Figuren viser periodisitet i den komplekse funksjonen med reell (Re(y)) og imaginær (Im(y) akse, for n=40
\(y= \cos x\left(\frac{6\pi}{n}\right) + i \sin x\left(\frac{6\pi}{n}\right)\)
Fourierserier
Fourierserier eller Fourierrekker er en utvidelse av periodiske funksjoner til en undelig sum av cosinus- og sinusfunksjoner, eksempel diskret tid Fourier-transformasjoner.
Hvis f er periodisk med en fundamental periode (syklus) så vil f(x) være summen av en rekke, kalt Fourier serie, med Fourier-koeffisienter an, bn , og omega(ω) er lik ω=2π/T:
\(f(t)= \displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_ {n=1}^\infty \left(a_0 \cos(n \omega t)\right)+\left(b_0 \sin(n \omega t)\right)\)
Fourier-koeffisientene er gitt ved:
\(a_n=\displaystyle\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos(n \omega t) dt\)
\(b_n=\displaystyle\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin(n \omega t) dt\)
Jean Baptiste Joseph Fourier (1758-1830) arbeidet med varmelære og varmeoverføring: Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Om spredning av varme i faste legemer) (1807) . Fourieranalyse.