Fibonaccitall

I slektskapstreet for mennesker er det for ett individ et slektstre med individantall 1, 2, 4, 8, 16. 32...

Arbeidsbier og dronningen er hunner) laget fra befruktede egg har to foreldre, dronningen og en drone. En drone kommer fra et ubefruktet egg har bare en forelder dronningen. Slektstreet for en drone hos følger Fibonaccitallene 1, 1, 2, 3, 5, 8. 13, 21, 34... Neste tall i rekken er summen av de to foregående.

Fibonacci-tall og det gylne snitt (φ)

Leonardo Pisa i Liber Abaci  året1202: Du starter med et par kaniner, hann og hunn. Hvor mange par kaniner gir dette i løpet av et år ?  Det skjer ingen formering den første måneden, og hvert par kaniner lager et nytt kaninpar hver måned. Ingen dør. Dette gir en rekurrensformel, hvor hvert tall er summen av de to foregående, de såkalte Fibonaccitallene (F_n), gjelder også for negative heltall. Etter 1 år er det 377 kaniner

\(F_n= \left\{ \begin{array} {1,1} 0 \space \quad \text {hvis n=0} \\ 1 \space \quad \text {hvis n=1} \\ F_{n-1}+ F_{n-2} \quad \text{hvis n>1} \end{array} \right.\)

I solsikkeblomsten finner man 55 spiraler den ene veien og 89 den andre veien,   ananas har tilsvarende 8 og 13. Furukongle har 5 spiraler den ene veien og 8 den andre.  Dette er tall som man finner igjen blant Fibonacci-tallene, en rekursiv rekke. Det er også sammenheng mellom Fibonaccitallene og pi (π).

Sentrum av blomsten hos prestekrage

Kongle fra furu (Pinus sp.)

Tau (τ) eller phi (φ) inngår i den gylne sirkel,  det gylne rektangel,  den gylne femkant,  og den gylne spiral. 

Frimerke fra Sveits (Helvetia) som viser den gyldne spiral og plasering i forhold til et lønneblad

Den gylne vinkel 137.51^o er vinkelen som gir en optimal bladplassering rundt en stengel som gjør at bladene skygger minst mulig for hverandre (fyllotaksis).

\(\phi=\frac{(1+\sqrt5)} {2}= 1.61803398874989484820...\)

\(\frac{1}{\phi}=\frac{\sqrt5 -1} {2}=0.61803398874989484820...\)

Frimerke fra Liechtenstein som viser de første del av tallrekken i det irrasjonale tallet tau i det gyldne snitt.

Det gyldne snitt (tau eller phi)  inngår i den gyldne sirkel, det gyldne rektangel, den gyldne femkant, den gyldne spiral.  Den gyldne vinkel 137.51^o er vinkelen som gir en optimal bladplassering rundt en stengel som gjør at bladene skygger minst mulig for hverandre. Det gyldne snitt har stått for skjønnhet i proporsjoner og harmoni bl.a. vist i De divina proportione skrevet av Luca Bartolomea de Pacioli 1497, med illustrasjoner av Leonardo da Vinci, bl.a. den vitruviske mann omgitt av en sirkel og et kvadrat. Et menneske har omtrent samme høyde som avstanden mellom langfingeren på utstrakte armer. Navlen deler ca. kroppen inn i det gyldne snitt. Det gyldne snitt kan finnes igjen i den logaritmiske spiral (jfr. Nautilus-skall, det gyldne rektangel, det gyldne pentagon (pentagram), og den gyldne sirkel, og i arkitektur og kunst. Fibonacci brakte de indiske tallene 1-9, posisjoneringssystemet, de primære regnearter og arabisk algebra til Europa. Noen hevdet at de indiske tallene var lett å forfalske i forhold til de romerske tall. Dermed ble alle regneregler skrevet i ord. Det var handelsskoler hvor regnemestre (maestri d´abbaco) underviste. I renessansen var Luca Bartolomeo Pacioli (1446-1517) en regnemester som skrev en lærebok i regning som inneholdt datidens kjente kunnskap om algebra, aritmetikk, geometri og trigonometri,fra Euklid, Boëthius, A.M.S. (480-525) og Fibonacci;  Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, utgitt i Venezia i 1494. 

Et menneske har omtrent samme høyde som avstanden mellom langfingeren på utstrakte armer. Navlen deler ca. kroppen inn i det gylne snitt.

Det har blitt myter rundt det gyldne snitt,  men vær oppmerksom på at det finnes en rekke andre forhold man kan måle,   blant annet på den vitruviske mann som ikke viser dette gylne snittet. Det blir feil å plukke ut bare de forhold som stemmer med det man forventer og droppe resten. Skulle man gjøre dette riktig skulle alle mulige forholdstall måles,  og deretter skulle man se om det gyldne snitt forekommer oftere enn andre forholdstall. Det samme gjelder arkitektur hvor man plukker ut det som stemmer med fasit,   og utelater det som ikke stemmer. 

En rekke med de første 30 Fibonaccitall er:

 1      1      2      3      5      8     13     21     34     55  89    144    233    377    610    987   1597  2584   4181   6765   10946  17711  28657  46368  75025 121393 196418 317811 514229 832040

 Ser vi på en rekke med forholdet mellom to tall i rekken,   dvs. dividerer hvert tall i rekken med det foregående så konvergerer rekken raskt mot det gyldne snitt τ (tau) eller phi (φ) = 1.618…Kvotienten mellom to påfølgende tall i Fibonacci-rekken er:

1.0000000 2.0000000 1.5000000 1.6666667 1.6000000 1.6250000 1.6153846  1.6190476 1.6176471 1.6181818 1.6179775 1.6180556 1.6180258 1.6180371 1.6180328 1.6180344 1.6180338 1.6180341 1.6180340

Den gyldne spiral fra Nautilus blekksprutskall

Fibonacci-tall og Binets formel

Binets formel for Fibonacci tall (JPM Binet (1786-1956)) fra 1843 var allerede kjent fra tidligere av både Euler, Daniel Bernoulli og A de Moivre (1667-1754).

\(\phi=\frac{(1+\sqrt5)} {2} \space \space -\phi=\frac{(1-\sqrt5)} {2} \)

\(F(n)= \frac{\phi^n - \left( -\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}=\frac{\phi^n - \left( 1-\phi\right)^{n}}{2\left(\phi -1 \right)} \sim \frac{\phi^n}{\sqrt5}\)

Selv om formelen inneholder kvadratrot av 5, så blir resultatet heltall. De irrasjonale delene opphever hverandreBinets formel finnes i mange utgaver:

Når er et tall et Fibonacci-tall ?

Ira Gessel fant i 1972 følgende (Fibonacci Quarterly (1972) vol 10, s.417): n er et Fibonacci-tall hvis og bare hvis 5n² + 4 eller 5n² - 4 er et kvadrattall (helt tall lik produktet av to like heltall e.g. 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9 …). n er et kvadrattall hvis og bare hvis n tall kan danne et kvadrat

Røttene i ligningen x² - x -1 = 0

En linje kan deles inn i det gyldne snitt hvor den største delen er x og den minste 1,   hele linjen blir x+1.

Det gyldne snitt er gitt ved at forholdet hele linjen/største del er lik den største del/minste del:

\(\phi=\frac{x+1}{x}=\frac{x}{1}\)

Kryssmultipliserer man gir dette:

\(x^2 - x - 1=0\)

Vi finner røttene til ligningen,  skjæringspunktet med x-aksen, og  blir lik φ og 1/φ.

Ligningen f(x) = x² - x - 1 vist med blå farge har to røtter, det vil si skjæringspunktene med x-aksen merket med de røde punktene. De tilsvarende x-verdiene for disse -0.6180..  1.618..

Dijktas rekke

Edsgard D Dijkstra  er ikke bare kjent for Dijktas algoritme for Fibonaccitallene, men også Dijkstras algoritme for å finne den korteste veien mellom nodene i en graf laget også en rekke. For Fibonaccitallene:

\(F(2n-1)=F(n-1)^2 + F(n)^2 \)

\(F(2n)=\left( 2 \cdot F(n-1)+F(n)\right) \cdot F(n)\)

Lucas-tall

En rekke med heltall (oppkalt etter matematikeren François Édouard Anatol Lucas 1842-1891) som har tilknytning til Fibonaccitallene, hvor neste tall i rekken er summen av de to foregående, men til forskjell fra dem starter rekken på 2 og 1. 

2   1   3   4   7  11  18  29  47  76 123 199  322   521   843  1364  2207  3571  5778  9349..

\(L_n = L_{n-1}+ L_{n-2}\)

Ratio (forholdet) mellom to påfølgende lucastall konvergerer mot det gylde snitt 1.61803398875...

Man kan bruke dette til å finne Lucastall n, Lⁿ:

\(L_n= [\phi ]^n \;\;\;\; n>2\)

e.g. n= 12 , 1.6180339887¹²=  321.9969, som heltallsfunksjon [ ]=322

Hvis n er et primtall så er Lucastallet L_n kongruent 1 modulo n:

\(L_n\equiv 1(\mod n)\)

På samme måte som Binets formel for Fibonaccitall er det en formel for Lucas-tall

\(L_n= \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\)

Tilbake til hovedside