Sannsynlighetstetthetfunksjonen for normalfordelingen har lange haler som går fra minus uendelig (-∞) til pluss uendelig (+∞), og de nærmer seg bare asymptotisk mot null. Det betyr at i de lange halene kan det ligge ekstremt sjeldne tilfeller, ofte omtalt som usannsynlige, men det er altså allikevel en mikroskopisk mulighet for at hendelsene i de lange halene kan inntreffe. Lignende gjelder også andre sannsynlighetsfordelinger enn normalfordelingen.
Det usannsynlige kan også være sannsynlig. Uendelig, symbolisert med et liggende åttetall (∞) eller lemniskate, pluss eller minus uendelig, er ikke et eksakt tall. Hadde uendelig vært et endelig tall ville det ha vært endelig. Uendelig er et nyttig begrep og postulat innen filosofi, logikk og matematikk som følger av resonnementer for tallene i tallrekken av typen» etter ethvert heltall følger et nytt heltall». Det betyr at det finnes mange forskjellige former for uendelig som Georg Cantor (1845-1918) påpekte. Mengden de naturlige tallene inneholder uendelig antall elementer Det. Primtallene omfatter også et uendelig antall elementer. Cantors kardinaltall og alef (ℵ). Det er også et uendelig antall tall mellom heltallene. Uendelig brukt om de lange halene for sannsynlighetsfordelingene som aldri kommer ned til asymptotene gjør at alle mulige utkomme er innbefattet, absolutt alt også de helt usannsynlige som ikke en gang har tenkt kunne forekomme. Luca Bartolomeo Pacioli (1446-1517) som innførte standardbetegnelsene pluss (+) og minus (-) er også er kreditert oppdagelsen av «uendelig».
For myntkast, følger binomial sannsynlighetsfordeling, er det to sannsynlige utall «kron» eller «mynt», men det kan også være en type «svart svane» innen myntkast, hvor mynten blir stående på høykant og faller ikke faller nednoen av de to mulige utfallene. Et annet ekstremt utfall er at mynten ikke faller ned i det hele tatt.
Svart svane teori
Svart svane teori omhandler ekstremt sjeldne hendelser, men som kan ha store konsekvenser. Amerikansklibanesiske Nassim Nicholas Taleb utviklet en svart svane teori (fr. cygne noir) i boka The black swan: the impact of the highly improbable (2007) som omhandler ekstreme utliggere i sannsynlighetstetthetskurvene. Disse er vanskelig å beregne på forhånd, men i ettertid lettere å forklare. Ifølge Talebs svart svane teori skal de sjeldne hendelsene forårsake store følger og konsekvenser som kan gi samfunnsendringer. Hvordan kan man tilpasse seg totalt uforutsigbare hendelser og trusler ? Terrorangrepet mot tvillingtårnene 11. september 2001 er en tilfeldig, en unik svart svane hendelse. Internett er et annet eksempel på en svart svane. Man har diskutert om koronapandemien kan kalles en svart svane, men er i tvil siden viruspandemier har skjedd tidligere. Det samme gjelder finanskrakk i 1987 og 2008, men slike er heller ikke uvanlige. Første og andre verdenskrig kan muligens kalles en svart svane, men verdenskriger kan heller ikke kalles overraskende. Hva med hvis Jorden ble truffet av en stor meteoritt ? En massiv solstorm som avmagnetiserte alle digital informasjon på hele Jorden vil ha fortjent betegnelsen svart svane. Det samme ville en hendelse som satte hele internett ut av drift. Eller en type sykdom hos mennesker med ukjent agens og ingen behandlingsmulighet.
Svart svane teori er viktig i risikovurdering innen finans og global økonomi.
Natur og kultur
Black swan er en filmthriller fra 2010 med motiv Pjotr Tsjaikovskijs ballett Svanesjøen hvor det forekommer både en hvit og svart svane.
Den sorte svane. En TV-dokumentar laget av danske TV2 og NRK brennpunkt (2024) og handlerkriminelle nettverk med advokater, regnskapsførere og andre i den økonomiske eliten som deltar i hvitvasking av penger fra kriminelle handlinger, skattesvindel og arbeidslivskriminalitet.