Logikk og slutningslære har sin opprinnelse tilbake til greske matematikere og filosofer som spekulerte omkring begrepet sannhet og om det var mulig å bygge opp et formalsystem basert på matematisk logikk og slutninger (deduksjoner). I antikken utviklet Aristoteles (384-322 fvt) aristotelisk logikk i Organon som omhandlet logisk analyse og dialektikk (samtale om spørsmål, argument, motargument og svar). I Aristoteles logikk og slutningslære (syllogismelære) er syllogisme er en følgeslutning, et argument med to eller flere premisser og en konklusjon. Et argument består av en premiss og konklusjon. Argumentet er valid (gyldig) hvis og bare hvis konklusjonene er en konsekvens av premissene (deduktivt resonnement).
Stoikeren og den greske filosofen Khrysippos fra Soli (279-206 fvt) arbeidet med logikk og proposisjoner. Proposisjon (l. propositio) er en kategorisk påstand som inneholder både subjekt og predikat (predikatlogikk med kvantorer, konnektiver). Konjunksjon (og) , inklusiv disjunksjon (eller) , eksklusiv disjunksjon (enten eller), negasjon (ikke), premiss og konklusjon. Man må kunne avgjøre om noe er likt (ekvivalent med) og følger som logisk konsekvens.
Euklids geometri i Stoikheia (Elementer) uten postulatet gitt i parallellaksiomet er ufullstendig .Parallelaksiomet kan ikke bevises av de andre aksiomene. På 1800-tallet ble det utviklet ikke-euklidsk geometri som ikke baserer seg på parallelpostulatet: hyperbolsk-, sfærisk- eller elliptisk geometri.
Gottfried Leibniz var utviklet et symbolsk språk for logikk begrepene aksiome, bevis, uendelig og mengdelære.
Den tyske filosofen og matematikeren Gottloeb Frege (1848-1925( arbeidet med idéen om at all matematikk kan beskrives som logikk, kalt logisisme. I tobindsverket Gundgesetze der Arithmetik (Grunnsetninger i aritmetikk) fra 1893/1903 enderdet i et aksiom V med en logisk proposisjon i selvmotsigelser og paradokser. Systemet var inkonsistent tilsvarende Bertrands Russells paradoks. I Grundgesetze befinner alle de logiske trinnene som er nødvendig for å fullføre et bevis, konsistentprinsippet, andre ordens logikk. Filosofen David Humes (1711-1776) prinsipp om induksjon (l. inducere – føre til) er en logisk slutning hvor konklusjonen ikke nødvendigvis følger av premisser, men som følge av sannsynlighet . Et eksempel på Humes prinsipp er at hvis det er F antall F-objekter og G-antall G-objekter så er det mulig å lage en en-til-en korrespondanse mellom F og G. I matematisk logikk inneholder Peanoaksiomer, (Cantor-Dedekind-aksiomer) for de naturlige tallene tre påstander eller aksiomer e.g. det finnes minst ett naturlig tall . Null (0) er et naturlig tall. Freges teorem er en kjede med definisjoner og logiske konklusjoner. Fregesr verk Über Sinn und Bedeutung (1892) (Om mening og betydning) har også hatt stor innflytelse. Gjenstanden er «betydningen»", mens «meningen» er beskrivelsen av gjenstanden eller subjektet.
En gruppe filosofer og matematikere i Wienkretsen, under ledelse av naturfilosofen Moritz Schlick (1822-1936), utviklet en filosofi kalt logisk positivisme (logisk empirisme) hvor det ikke er plass til metafysikk og kvasivitenskap. Manifestet var et vitenskapelig begrep om verden Kunnskap skal komme fra vitenskapelige eksperimenter og observasjoner. Rudolf Carnap, Friedrich Waismann og Bertrand Russell fra Wienerkretsen skrev I 1918 en artikkel The Philosophy of Logical Atomism at verden består av logiske fakta som ikke kan bli ytterligere oppdelt, hvert faktum av dem kan forståes uavhengig av andre fakta.
Filosofen Ludwig Wittgenstein (1889-1951) laget i Tractatus Logico- Philosophicus et logikkbyggverk med 525 nummererte påstander e.g. «Det man ikke kan snakke om må man tie». «En tanke er en proposisjon med mening». «Et logisk bilde med fakta er en tanke», som minner litt om Bertrands Russels Principa matamatica.
Frege utviklet et system for logikk som var tenkt brukt som grunnlag for matematikk. Bertrand Russell (1872-1970 og Alfred North Whitehead hadde i Principia Mathematica (1910-1913) et formål å konsruere et matematisk formalsystem basert på aksioner og logiske slutninger. Hvor ethvert utsagn og negasjonen, det motsatte utsagnet kan bevsies ut fra aksiomene. Et aksiom er en grunnleggende matematisk påstand Russells paradoksmengden av mengder som ikke er element (medlem) av seg selv
La R være mengden av alle mengder som ikke er medlem av dem selv. Hvis R er medlem av seg selv så er definisjonen at den ikke er medlem av seg selv. Hvis den er medlem av seg selv så er den ikke medlem av seg selv.
La R= {x|x ikke ∃ av R} hvis R ∃ R så følger det at at R ikke element i R.
En samling aksiomer er konsistent hvis de ikke resulterer i selvmotsigelser. Logiske operatorer Boolsk algegra utviklet av George Boole (1815-1864)
Kurt Gödels ufullstendighetsteorem formulert av Kurt Gödel i 1931 sier at det at fullstendig og konsistent samling av aksiomer for all matematikk er umulig.
Virkelighet versus fiksjon.
Logikk (gr. logos – resonnement, tanke, fornuft) studiet av lover for korrekt resonnement, logiske sannheter, naturlig språk, slutningslære (inferens) og formallogikk med induktive og deduktive argumenter Premiss og konklusjon, proposisjoner eller setninger. En assosiasjon er en tankeforbindelse.
Et premiss danner grunnlag og er en begrunnelse for en påstand eller et utsagn. En konklusjon bygger på en eller flere premisser og hvor man foretar en logisk slutning basert på premissene. Hvis et av premissene er usant blir også konklusjonen usann. Hvis alle premissene er sanne blir konklusjonen som bygger på disse også sann. En syllogisme er en logisk utledning. Matematikk er basert på premisser som alle er enige om er sanne, og disse premissene kalles aksiomer. Med aksiomene som fundament kan man bygge et logisk byggverk.
Induktiv logikk vil si at man generaliserer ut fra enkelttilfeller, men skal dette være gyldig må enkelttilfellene være et representativt utvalg fra hele utfallsrommet.
Dedusere betyr å trekke en logisk slutning om en ting på bakgrunn av det man allerede vet. Deduksjon og deduktiv logikk om er en slutning trukket på bakgrunn av erfaring og observasjoner.
En abduksjon (l. abducere – lede vekk fra) er en logisk slutning basert på den beste forklaringen, introdusert av den amerikanske filosofen o matematikeren Charles S. Peirce (1839-1914). Abduksjon betyr bevegelse vekk fra midtaksen, motsatt av adduksjon. Første premiss er av nødvendighet sann, men neste premiss er usann og flytter forklaringen flyttes vekk fra midten.
Argumentasjonslære
Argumentasjonslære omhandler regler logisk gyldig og ugyldig argumentasjon En argumentasjon kan klassifiseres som god eller dårlig og inngår i fagområdet retorikk og naturfilosofi. Evne til å vurdere standpunkter og ders gyldighet. Man kan argumentere ut fra premiss og tillegge disse forskjellig vekting. Talekunst omfatter epistemologi, retorikk og dialektikk, gr. dialektike – samtale) og induktiv diskusjon. Retorikkens tre bestanddeler er logos (fornuft, rasjonalitet), patos (overbevisning) og etos (etikk, troverdighet og tillit).
Negasjoner og nektelser
Hvis et utsagn er sant så er negasjonen usann. Negasjoner kan oppheve hverandre, Hvis flere negasjoner følger etter hverandre kan det være vanskelig å forstå meningsbetydningen. «Ikke- ikke» opphever hverandre, men hvis man i tillegg bringer inn forstavelsen «u» blir det mer krevende å oppfatte hva som menes: «det er ikke uviktig»= viktig. «Ikke ufint» = fint Flere negasjoner som følger etter hverandre i muntlig tale kan i noen tilfeller flere forsterke hverandre, og må tolkes ut fra sammenhengen de er brukt i muntlig tale.
Gitt: |
verum: ⊤(sann)
Falsum: ⊥ (ikke sann)
Negasjon: ¬ (ikke, negasjon)
Konjunksjon: ∧ (logisk og)
Disjunksjon: ∨ (logisk eller)
Kondisjonal: → (hvis … så…, logisk konsekvens)
Invers kondisjonal: ←
Bikondisjonal: ↔ (hvis og bare hvis)
Universell kvantor: ∀ (for alle)
Eksistensiell kvantor: ∃ (eksisterer)
\(\displaystyle \subset \;\;\; \text{Undermengde}\)
\(\displaystyle \in \;\;\; \text{I eller element i }\)
\(\displaystyle \notin\;\;`; \text{Ikke i, ikke element i}\)
\(\displaystyle \implies \text {implikasjonspil} \)
\(\displaystyle \angle\;\;\; \text{Vinkel}\)
\(\displaystyle \forall x \land \forall y (Px \rightarrow Py)\;\; \text{For alle x og alle y hvis Px så følger Py}\)
Litteratur
Wikipedia