Spiraler og matematikk i planteriket
Plantene følger et mønster når det gjelder plassering av blader oppetter stengelen kalt fyllotaksis. Hver art velger sin egen strategi for plasseringen. Ofte blir bladene stående i vertikallinjer (ortostiker). Hos noen planter er bladene plassert kryssvis motsatt (dekussat) av hverandre på stengelen som i søterot-, jernurt- og nellikfamilien. Hos andre er bladene fordelt i spiral oppetter stengelen, og i korgplantefamilien er bladene gruppert både motsatt og i spiralform. Noen planter har bladene i rosett ved basis av stengelen f.eks. kjempe (Plantago) og nøkleblom (Primula).
Det går an å lage en tenkt spiral som går igjennom hvert bladfeste i den rekkefølgen som bladene lages. Dreining av spirallinjen med urviserene kalles en høyre-skrue (Z-skrue) og mot urviseren en venstre-skrue (S-skrue). I en spiral avhenger dreiningsretningen om man beveger seg oppover eller nedover spiralen. Hver enkelt art har valgt sin egen strategi for arrangering plassering av bladene rundt stengelen slik at de får optimalt med lys. Bladplasseringen kan beskrives som en brøk hvor nevneren (tallet under brøkstreken) angir hvor mange blader som passeres før man kommer til neste blad som står rett ovenfor det man startet å telle ved. Telleren (tallet over brøkstreken) angir hvor mange ganger man må gå rundt stengelen før man kommer fram til dette siste bladet. Det viser seg at de tallforholdene for bladstilling man kan observere er av typen 1/2 (180 o), 1/3 (120 o), 2/5 (144 o), 3/8 (135 o), 5/13 (138.2 o), 8/21 (137.1o), 13/24 (137.6 o). I parentes er det angitt vinkelen mellom to påhverandre følgende blad. Rekken begynner med 1/2 (motsatte blad) , 1/3 (bladstilling hos starr, gras, hassel og or), 2/5 (bjerk, rose), 3/8 (kjempe) og 5/13 (takløk). På ethvert punkt 360 o rundt stengelen har planten mulighet til å plassere blad, men en avstandsvinkel på 137.50776...o er optimal for at påhverandre følgende blad skal dekke hverandre i minst mulig grad.Neste tall i rekken er summen av tellere og nevnere i de to foregående brøker. Tallene kalles Fibonacci-tall, etter den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci av Pisa (1180-1250).
Denne rekken nærmer seg et irrasjonelt tall grenseverdien 0.38197... (137.50776...o).
t (tau) er 1.618034...., er konstanten i det gyldne snitt. Den greske bokstaven tau kommer fra tomos som betyr å dele
I andre tilfeller forekommer også tydelige spiralstrukturer i blomsterbladenes plassering som hos solsikke, prestekrage roser og hvit nøkkerose. Ananasfrukten eller kongleskjellenes plassering på gran- og furukongler viser også slike spiralstrukturer. Blomstene i korga hos prestekrage er plassert i spiraler som går både med og mot klokka. Spiralene starter i sentrum av blomsten med de yngste blomstene. Den første spiralen er den primære spiralen. De tilsynelatende andre spiralene som kommer fram er sekundære spiraler. Telles antall spiraler i hver retning finner vi at det går 21 spiraler den ene veien og 34 spiraler den andre veien. Dette er tall fra Fibonacci-rekken. Dette mønsteret fås når neste blomst plasseres akkurat 137.50776..o etter den forrige. Dette er også den ideelle spiralplasseringen av bladene på en plante for at hvert enkelt blad skal få mest mulig lys. Denne vinkelen er et uttrykk for Euclid´s "gyldne snitt". Fyllotaxis er et statisk system.
Skuddspissen er et dynamisk system som ved sin dreining i sirkelformede bevegelser gjør at slyngplanter danner genetisk bestemte helixer. Høyre-skrue hos bønner, meloner, agurk, Passiflora, Convolvulus og Aristolochia; og venstreskrue hos humle og kaprifol (Lonicera caprifolium).
Vi har også dreiningsvekst hos trær. Dreiningsveksten er vanlig hvor vekstbetingelsene er dårlige og ved ulik vindbelastning. Dreiningsvinkelen er vinkelen mellom tangenten til skruelinjen og hovedaksen til planteorganet. Det er ikke bare vedrør og trakeider som får slik dreining, men også silrør, melkerør og bastfibre. Hos katusjuktreet (Hevea brasiliensis) går melkerørene i en bratt høyreskure (skruvinkel 3.5 o). Tappingen skjer ved et snitt i barken som følger en venstreskrue.
Det gyldne snitt har i over to tusen år vært satt i sammenheng med skjønnhet og ideelle proporsjoner. Snittet finnes igjen i de egyptiske pyramidene, i Parthenon i Aten og i Nidarosdomen. Det ble brukt av kunstnere som Leonardo da Vinci og Pablo Picasso. Selv i dagens svart- og hvitlappede fotball finnes snittet igjen.
Eksempler på molekylære spiraler finnes i dobbeltspiralen DNA, enkeltspiralen i proteiner. Spiralformen er med å stabilisere de molekylære strukturene. Watson og Crick beskrev de to formene av DNA som A og B, hvorav B-formen var den naturlig forekommende. I 1970 oppdaget man at DNA også kunne dreie andre veien, Z-DNA. DNA-helixen kan igjen gi superhelixer.
L-Aminosyrene i polypeptid alfa-helixen er plassert etter forholdstallet 3/11.
Veggfortykkelser i xylem mikrofibrillenes plassering i cellevegger og klatretråder hos klatreplanter er andre eksempler på naturens ønske om å lage spiraler. Det gyldne snitt, den gyldne sirkel, den regulære femkanten og det gyldne rektangel er fire figurer som alle uttrykker det gyldne snitt. Det gyldne snitt finnes i den rette linjen hvis linjen AB deles ved C slik at den største delen BC forholder seg til den minste AC som AB til BC. Da er linjen delt i det gyldne snitt:
BC/AC=t/1. I en regulær 5-kant vil diagonalen som forbinder to motsatte hjørner være t ganger så lang som en side. Når alle diagonalene i den regulære 5-kanten er trukket gir det en stjerne, Pythagoreerenes symbol. Et rektangel og sirkelen kan også deles i det gyldne snitt.
Irrasjonelle tall er ikke uvanlige. Forholdet mellom omkrets og diameter i sirkelen er gitt ved tallet π (pi) =3.1426...... Det relative forholdet av diagonalen til en side i kvadratet er gitt ved kvadratroten av 2=1.414...
En kjegle blir flat om høyden reduseres til 0. Når en flat plate lages om til en sylinder blir spiralene til helikser.
Andre eksempler rekke-utviklinger er de såkalte Lucas-tall:
1/3 (120 o), 1/4 (90 o), 2/7 (102.7 o), 3/11 (98.2 o), 5/18 (100o), 8/29 (99.3 o), 13/47 (99.7 o), med grenseverdi 0.276... (99.5 o).
"Granens og furuens form går igjen i en kongle slik katedralen som helhet er gjentatt i buen." André Bjerke "Treet"
Adler, I., Barabe, D. & R.V. Jean: A history of the study of phyllotaxis. Ann. Bot 80 (1997)231-244