Eksponentiell vekst kan beskrives av en differensialligning hvor den førstederiverte av x (f’(x)) er lik funksjonen selv (f(x)). Veksten kan også presenteres som en differensligning med diskontinuerlige tidstrinn til forskjell fra den kontinuerlige tidslinjen i differensialligniner. Bare for de færreste differensialligninger kan man finne en analytisk løsning av ligningen i form av en matematisk formel, og må istedet løses med numeriske metoder i en datamaskin. Enkle differensialligninger som for eksponentiell vekst og logistisk vekst kan man sammenligne anatlytisk og numerisk løsning av ligningene, samt også betrakte dem som differensligninger.
Differensialligninger anvendes innen dynamtisk modellering: Predator-byttdyrmodeller. Epidermiologiske modeller for smittespredning (SIR-modeller). Eksempler på geometrisk løsning av noen differensialligninger: dynamiske modeller, kaosteori, sommerfugleffekten, van derPol oscillasjoner, dx/dt=sin(x), Rössler, Nosé-Hoover oscillator, Rucklidge kaosmodell, Poincaré-Andronov-Hopf bifurkasjon, Hénon-Heiles,
Differensialligninger
Gottfried Leibniz (1646-1716), Isaac Newton (1642-1727) med Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum,
Leonhard Euler (1707-1782)
og Johann Bernoulli (1667-1748) var de første som på begynnelsen av 1700-tallet løste enkle differensialligninger.
J.L Lagrange (1736-1813) og Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827),
videreutviklet på 1800-tallet løsningsmetodene for differensialligningene. Laplace er også kjent for studiene av himmellegemenes bevegelser, og Laplaces differensialligning beskriver en harmonisk funksjon. Bidrag kom også fra Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Etter hvert ble man klar over at mange differensialligninger ikke kan løses med tradisjonelle metoder, og den franske matematikeren Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) kunne i 1820 forutsi at under gitte forutsetninger hadde en differensialligning løsninger.
Lagrange var den første som innførte betegnelsen f’ som den deriverte av funksjonen f.
Leibniz introduserte en differenskvotient:
\(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Hvor Δ er den greske bokstaven Delta som ble brukt til å uttrykke bittesmå forskjeller. Leibniz tenkte at når Δx ble uendelig liten og Δy tilsvarende liten så ble Δx og Δy uendelige små, infinitesimale, og disse infinitesimale betegnet han dx og dy. Deretter kunne man summere opp (integrere) alle de infinitesimale. Mengdene dx og dy kalte han differensialer, d i kalkulus (småstein) betyr en infinitesimal endring. Derved ble den deriverte en differensialkvotsient dy/dx.
\(\displaystyle f'(x)= \frac{dy}{dx}= \lim\limits_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Grenseverdien betegnes lim (limes). Egentlig er det absurd å dividere på null (0)
Leibniz hadde derved skapt differensialkvotienten dy/dx som symbol for den deriverte. Leibniz mente at infinitesimale var uendelige små tall, men allikevel større enn 0. Etter hvert oppga man tanken om infinitesimale som egne uendelige små tall, men fremdeles kalles derivasjon og integrasjon for infinitesimalregning. Imidlertid førte Leibniz tenkemåte til en geometrisk tolkning: den deriverte er egentlig en tangentlinje til en kurve. Differenskvotienten blir en tangentlinje, og den deriverte sier noe om hvor bratt kurven stiger og i hvilken retning den går. Differensialligningen omhandler tangentlinjer, mens integralregningen tar for seg arealer under kurver. Den franske matematikeren Pierre de Fermat (1601-1665) fant at når tangentlinjene var horisontale dvs. ingen stigning på tangenten så hadde han maksimums- eller minimumspunkter på en grafisk figur. Har den deriverte en positiv verdi stiger kurven, har den deriverte en negativ verdi synker kurven, og er den deriverte lik 0 verken stiger eller synker kurven. I funksjonen som danner en sirkel vil tangentlinjen alltid stå normalt (vinkelrett) på radius i ethvert punkt på sirkelen. Disse tangentlinjene kunne brukes til å beregne endringer i hastighet i fysikken, eller generelt hvor rask hastighetsendring en funksjon har. Betegnelsen f’ brukes på den førstederiverte og f’’ på den andrederiverte. Ofte skriver man y’ i stedet for f’(x), og y’=dy/dx hvor dx er differensialet til x Den andrederiverte skrives som y’’ eller y’’ (x)
\(\displaystyle y''(x)= \left(y'(x)\right)'= \frac{d^2 y}{dx^2}\)
Leibniz notasjon for den deriverte:
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}\left(f(x) \right)\)
Lagranges notasjon for den deriverte bruker en apostrof. For den første og andrederiverte:
\(\displaystyle \dot{x}= \frac{dx}{dt} \)
Den Newtonske notasjon bruker en prikk. Egentlig dreier alt i Universet seg om tid slik at dx/dt er mer anvendlige enn dy/dx i modellene.
Den nære sammenhengen mellom integrasjon og derivasjon. En del differensialligninger kan løses ved integrering, men i mange praktiske anvendelser er differensialligningene ikke analytisk løsbare og kan bare løses numerisk med en datamaskin. Integrering er det samme som antiderivasjon, og beskrives av Fundamentalteoremet i kalkulus:
For en kontinuerlig funksjon f(x) fra x0 til x: Hvis
\(\displaystyle F(X) = \int\limits_{x_0}^x f(x) dx\)
så er:
\(\displaystyle f (x)= f(x)\)
I en todimensjonal figur har man et aksesystem med en horisontal linje kalt x-akse og en vertikal akse kalt y-akse. Der disse to aksene skjærer hverandre har man origo (0). Ethvert punkt i dette planet (xy-planet) kan angis med et par med tall (x,y) kalt koordinater, hvor x-koordinaten ofte kalles abscisse og y-koordinaten kalles ordinat.
Leibniz introduserte ordet funksjon om en type matematiske formler. Disse funksjonene kan tegnes som en grafisk framstilling i et plan med x- og y-koordinater. Sinus (sin), cosinus (cos) og tangens (tan) er eksempler på trigonometriske funksjoner som spesielle periodiske egenskaper. Studerer man tidsavhengige prosesser er x-aksen en tidsakse med tidsenheter t og tidsfunksjonen blir av typen f(t). Vi skal etter hvert se at prosesser som endrer seg over tid kan beskrives med differensialligninger. Dynamiske systemer, systemer som endrer seg over tid og/eller rom, kan beskrives i form av differensialligninger som har en kontinuerlig tidsakse, eller i form av differensligninger som er basert på iterasjoner (gjentakelse) og har en diskontinuerlig (diskret) tidsakse.
En ordinær differensialligning (ODE)er av typen:
\(\displaystyle y'= \frac{dy}{dt}= f(t, y, p)\)
hvor t angir tid og p parameterverdier. Ligningen visere endring i en tilstandsvariabel y, som funksjon (f) av tiden som uavhengig variabel, men rom (x kan også være en uavhengig variabel. Parameterverdiene er forskjellige andre variable.
Partielle differensialligninger inneholder den partiellderiverte til mer enn en uavhengig variabel e.g. variasjon i tid (t) og rom (x):
\(\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} = f\left(t,x,y,\frac{\partial y}{\partial x}, p \right)\)
Schrödingers bølgeligning, varmeligningen og den elektromagnetiske bølgeligningen er eksempler på partiellderiverte i tre dimensjoner.
I stokastiske differensialligninger er et av leddene i ligningene en tilfeldig (stokastisk) prosess. Algebraiske differensialligninger består av en blanding av en differensialligning og en algebraisk ligning g. Forsinkelsesdifferensialligninger (DDE) har med en tidsforsinkelse.
Den endimensjonale varmeligningen er eksempel på en partiell differensialligning:
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\)
hvor både tiden t og rommet x er uavhengige variable, u(t,x).
Analytiske løsninger er:
\(\displaystyle u (t,x) = \frac{e^{-\frac{x^2}{4t}}}{2\sqrt{\pi t}}\)
Legg merke til likheten med funksjonen for normalfordelingen hvor varmen spres til begge sider i en klokkeform i planet.
Varmeligningen i tre dimensjoner kan skrives som:
\(\displaystyle k \nabla^2 Q=\frac{\partial Q}{\partial t}\)
hvor Q er varme, t er tid og gradienten opphøyd i andre blir de andrepartiellderiverte med (Laplaceoperatur ∇2): fra vektorfelt
\(\displaystyle \nabla ^2= \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2}{\partial z^2}\)
Generelt hvis vi har en funksjon med n variable f(x1, x2,…,xn) så vil gradienten til f være gitt ved de partiellderiverte:
\(\displaystyle \nabla f = \left( \frac {\partial f}{\partial x_ 1}, \frac {\partial f}{\partial x_ 2}, \cdots,\frac {\partial f}{\partial x_ n} \right)\)
Hvis vi har:
\(\displaystyle F (x,y,z) = \nabla \phi (x,y,z)\)
i et domene D, så vil F være et konservativt vektorfelt i D, og phi (φ) er skalarpotensialet for F. Et konservativt vektorfelt
\(\displaystyle F = \nabla f\)
hvor funksjonen f er potensialet til F. Vi har gradienten gitt i form av de partiellderiverte:
med enhetskooridinatorer (i, j. k)
\(\displaystyle \mathbf{grad}f(x,y,z)= \nabla f(x,y,z)= \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+ \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k} \)
Divergensen til F divF er funksjon (skalarfelt) og er det samme som flukstetthet:
\(\displaystyle \mathbf{divF} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial z} \mathbf{k} \)
Vi kan også uttrykke dette som:
\(\displaystyle \mathbf {divF} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} \)
Vi ser at divergensen til F er et skalarfelt:
\(\displaystyle \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \)
Divergensen til vektorfeltet F i punktet P sier noe om hvordan feltet sprer seg vekk fra P, divergerer, en fluks per enhetsvolum ut fra små sfærer med sentrum i P:
\(\displaystyle \mathbf{divF}(P)= \lim\limits_{\epsilon \to o^+} \frac{3}{4 \pi \epsilon ^3} \oint\oint\mathbf{F} \cdot \hat{N} dS\)
Divergensen sier noe om punktet er en kilde eller sink for vektorfeltet.
Sirkulasjonen til F curlF angir hvordan vektorfeltet (flyt av objekter) roterer rundt punktet P i rommet R3:
\(\displaystyle \mathbf{curl F} = \mathbf{\nabla \times F}= \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\[0.3em] F_1 & F_ 2& F_3 \end{bmatrix}\)
Hvis punktene i rommet med tilhørende vektor er representert med parameterligning r=r(t) så vil tangentvektoren dr/dt være parallel med vektorfeltet F(r(t)).
\(\displaystyle \frac{dr}{dt}= \lambda (t) \mathbf{F}(r(y))\)
Erwin Schröderingers (1887-1961)bølgeligning fra 1926(Schrödingerligningen) for kvantefysikk (bølgemekanikk):
p>\(\displaystyle \frac{\hbar ^2}{2m} \nabla\psi + V\psi= i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}\)
Partikler beskrives som en bølgefunksjon ψ(x,y,z,t) hvor man snakker om sannsynligheten for å treffe på en partikkel i rommet ved tid t,ћ=h/2π hvor h=Plancks konstant, V=partikkelens potensielle energi, i=√-1 (jfr. komplekse tall)
Navier-Stokes ligning for strømning i væsker:
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla)u= f- \frac{1}\rho{} \nabla p + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 u\)
hvor u er hastighet, p=trykk, µ=viskositet,ρ=tetthet, f=en ytre kraft, hvis f=0 gir dette Fourierslov. Er viskositeten lik 0 har vi Eulers bevegelsesligning. Selv for Navier-Stokes ligningene, som er en modell for tredimensjon bevegelse i usammenpressbare løsninger bl.a. vann, benyttes mye og har mange løsninger, har man ennå ikke vist at løsningene har global eksistens, det vil si full generalitet. Oppkalt etter den franske ingeniøren Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836) og George Gabriel Stokes (1819-1903, hvor man fremdeles ikke har forstått all fysikk som ligger bak. Eksistens og usikkerhet.
Eulerligngene er et sett med partielle differensialligninger brukt innen væskedynamikk i studiet av en ikke-viskøs flyt (Reynoldstall lik unedelig) av væske som ikke lar seg presse sammen, eller luft som lar seg presse sammen. Eulerligningene inneholder Cauchyligningene for bevaring av masse og moment. Flythastigheten følger et solenoidfelt. For eksempel luftstrømfeltet rundt en flyvinge hvor trykket blir lavere på oversiden av vingen enn på undersiden som har høyere trykk og gir løft.
En bølge lager en forstyrrelse i et medium, hvor medietforblir i samme stadiet etter at bølgen har passert. Den endimensjonale bølgeligningen er også eksempel på en andreordens hyperbolsk partiell differensialligning:
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} - v^2 \frac{\partial ^ 2 u}{\partial t^2} = 0 \; \;\;\;\; \text{hvor}\; \; \frac{\partial ^2 u} {\partial x^2} = \frac{\partial \left (\frac{\partial u}{\partial x}\right)} {\partial x}\)
Den brukes til å beskrive lys-, lyd- og vann-bølger eller en vibrerende streng. Den har en tidsvariabel t og u er høyden av modellen u(x,t)med en rekke romlige variable x1,x2,…,xn med u = (x1,x2,…,xn,t). Den kan uttrykkes som to førsteordens differensialligninger.
Bølgeligningen i et tredimensjonalt rom blir hvor x, y og z er de romlige koordinatene, v er hastigheten som bølgen beveger seg med, u(x,y,z,t) er forflytning av bølgen. Dette er en lineær differensialligning siden det er bare lineære ledd i ligningen i form av u(x,y,z,t). Bølgebevegelse i en dimensjon, langs x-aksen, gjør at y og z forsvinner. Løsngen for u i et punkt x og ved tid t er gitt ved cosinusfunksjonen hvor A er amplitude, k=2π/λ, ω=2πν
\(\displaystyle \frac{\partial ^ 2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^ 2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^ 2 u}{\partial z^2} - v^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = 0\)
\(\displaystyle u(x) = A \cos(kx - \omega t)\)